Разложение функции в ряд Лорана в областях, страница 2

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

   3) 0<|z-4|<6;

Решение. Корнями уравнения z2-2z-8=0 являются числа z1=4 и z2=-2. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=4 получим A=1/6.  Если положить z=-2, то получим

 В=5/6. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/4, во второй дроби q=-2/z. Следовательно,

     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

в) 

Ответ. 1).   в кольце .

             2).   в кольце .

             3) в кольце 0<|z-4|<6;

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

    3) 0<|z-2|<2;

Решение. Корнями уравнения z2-6z+8=0 являются числа z1=4 и z2=2. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=4 получим A=4.  Если положить z=2, то получим

 В=-3. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/4, во второй дроби q=2/z. Следовательно,

     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

3)  

Ответ. 1).   в кольце .

             2).   в кольце .

             3)  в кольце 0<|z-2|<2;

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

  3) 0<|z+1|<5;

Решение. Корнями уравнения z2-3z-4=0 являются числа z1=4 и z2=-1. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=4 получим A=9/5.  Если положить z=-1, то получим В=-4/5. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/4, во второй дроби q=-1/z. Следовательно,     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

3) 0<|z+1|<5;

Ответ. 1).  в кольце .

             2).   в кольце .

            3)   в кольце 0<|z+1|<5;

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

Решение. Корнями уравнения z2-5z+4=0 являются числа z1=1 и z2=4. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=4 получим A=-2/3.  Если положить z=1, то получим В=5/3. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=z/4, во второй дроби q=1/z. Следовательно,     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

Ответ. 1). в кольце .

             2).   в кольце .

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

  3) 5<|z+3|;

Решение. Корнями уравнения z2-5z+4=0 являются числа z1=2 и z2=-3. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=2 получим A=3/5.  Если положить z=-3, то получим В=2/5. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=2/z, во второй дроби q=-z/3. Следовательно,     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

3)

Ответ. 1). в кольце .

             2).   в кольце .

             3)   в кольце 5<|z+3|;

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

     3)    1<|z+2|.

Решение. Корнями уравнения z2+5z+6=0 являются числа z1=-2 и z2=-3. Разложим эту