Практический курс теоретических основ электротехники: Методическое руководство (Раздел VIII: Резонанс в электрических цепях)

Страницы работы

11 страниц (Word-файл)

Содержание работы

6. Топографическая диаграмма цепи в предположении, что
j d = 0 (рис. 5,в).

j b = j d + I2Z2 = 108 Ð 33,7º (B),

j c = j d + I4Z4 = 36 Ð-146,3º (B),

j a = j b + I1Z1 = 130 (B).

VIII. РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Основные вопросы

1.  Какой режим электрической цепи называется резонанс-ным?

2.  Условия резонанса напряжений.

3.  Условия резонанса токов.

4.  Резонансная частота последовательного и параллельного резонансных контуров.

Литература

1.  Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил Л.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. – М., 1989. – § 5.1, 5.2, 5.4 ,5.5, 5.7.

2.  Бесонов Л. А. Теоретические основы электротехники. – М., 1978. – § 3…25; 3…29.

Примеры

Задача 1

Подпись:  Известны показания приборов: амперметры А1 и А2 показывают по 10 А, вольтметр на входе цепи показывает 100 В. Входные ток и напряжение совпадают по фазе.

Определить входной ток I и параметры цепи r, xL, xC.

Решение

Uab

 
Вариант 1 (расчет с по-мощью векторной диа-граммы)

Векторная диаграмма рассматриваемой цепи, пред-ставленная на рис. 1,б, построена в соответствии с

                                                       уравнениями

  и 

при условии совпадения фаз Uвх и I.

Порядок построения векторной диаграммы следующий:

Подпись:  · произвольно выби-раем направление вектора ;

· вектор тока  совпадает по направлению с вектором , а вектор тока  опережает его на угол, равный 90°;

·  в силу того, что I1 =
= I2, входной ток цепи

,

а изображающий его вектор , опережает напряжение  
на 45°.

Вектор  (длина его выбрана произвольно) суммируется с вектором , опережающим вектор общего тока  на 90°, так, чтобы вектор входного напряжения  совпал с направлением вектора тока .

Из диаграммы следует:

UL = U = 100 B;

Uав =  = 100  B;

хc =

r = хc = 14,1 Ом;

хL =

Вариант 2

1. Из условия резонанса

Im(Zвх) = 0,

где

следует, что

.

2. Из условия I1 = I2  вытекает, что

r = хc  и   (cм. рис. 1,б).

3. Решая совместно уравнения

и

,

находим

x= r = 14,1 Ом, xL = 7,092 Ом.

Ответ: I = 14,1 A, r = 14,1 Ом, xL =7,092 Ом, xC = 14,1 Ом.

Задача 2

К цепи (рис. 2) приложено напряжение U = 10 В.

r1 =10 Ом,    r= 20 Ом,    L = 0,15 Гн,    C = 60 мкФ.

Определить неразветв-ленный ток I и потреб-ляемую цепью мощность при резонансной частоте.

Решение

L

 
                1. Из условия  резонанса в цепи

Im(Zвх) = Im(rвх + jxвх) = 0,

следует, что xвх = 0.

Рис. 2

 
 


2. Комплекс входного сопротивления цепи:

Zвх =

=

==

== rвх + jxвх.

3. Определение резонансной частоты ω0.

хвх =  = 0,

или

.

Преобразовав полученное тождество:

r12 ω02Lr22C2+r12L = r12 r22C+r22 C ω02L,

получим уравнение для определения частоты резонанса

ω02r22LC(r12C – L) - r12(r22C – L) = 0,

из которого следует:

4. Определение входного тока:

=

=

5. Определение активной мощности P0:

P0 = I2 rвх = 0,3612×27,7 = 3,61 Вт.

Ответ: I = 0,361 A, P0 = 3,61 Вт.

Задача 3                                         

Сварочный аппарат мощностью Pсв = 1210 Вт при напряжении сети
Uсв = 220 В и f = 50Гц

потребляет ток Iсв = 11 А.

Сварочный аппарат

 
Определить емкость и мощность батареи конден-саторов, которую необхо-димо включить параллельно сварочному аппарату (рис. 3), чтобы повысить коэф-фициент мощности (соsj) цепи до 1, а также ток, потребляемый цепью после подключения батареи кон-денсаторов.

Решение

Вариант 1

1. Коэффициенту мощности, равному 1, соответствует режим резонанса токов в цепи (рис. 3), условием которого является:

Im(Yвх) = Im(gвх + jbвх) = 0,

и, как следствие

bвх = bLсв- bC = 0.

2. Заданные характеристики сварочного аппарата (Pсв, Uсв, Iсв) позволяют определить его коэффициент мощности

и реактивную проводимость

bLсв = Yсв sin jн  = =

Ом-1.

3. Требуемая емкость определяется из условия резонанса

bc =wС = bLсв = 0,0432 Ом-1.

В результате

C =

4. Мощность батареи конденсаторов

Qc =

5. Входной ток цепи может быть определен с помощью первого закона Кирхгофа

I = ILсв + Ic.

В режиме резонанса токов реактивная составляющая тока сварочного аппарата уравновешивается током батареи конденсаторов

= Ic,

поэтому входной ток цепи определяется лишь активной составляющей тока сварочного аппарата:

I =

Ответ:  С = 139 мкФ;  QC = 2100 Вар;  I = 5,5 A.

Вариант 2  (расчет с помощью векторной диаграммы).

Векторная диаграмма, соответствующая режиму резонанса (совпадения по фазе входного напряжения и входного тока), представлена на рис. 3,б. Диаграмма строится на основании первого закона Кирхгофа

.

Порядок построения диаграммы:

· в произвольном направлении строится вектор входного напряжения ;

· в соответствующем масштабе строится вектор тока сварочного агрегата , отстающий на угол

jсв = arccos

от вектора входного напряжения;

· к концу вектора пристраивается вектор емкостного тока , опережающий на прямой угол вектор входного напряжения, причем длина вектора емкостного тока принимается такой, чтобы вектор результирующего тока  оказался в фазе с вектором входного напряжения.

Диаграмма позволяет определить емкостный ток

IC = Iсвsinjсв = 11×sin 60° = 9,526 A,

и вслед за этим найти сопротивление конденсатора 

и величину емкости, обеспечивающей резонанс,

Задача 4

В цепи, изображенной на рис. 4,а, ток амперметра А равен 0.

Подпись:       U = 240 B;

L = 40 мГн;

C = 1 мкФ.

Сопротивления амперметров равны 0.

Определить показания амперметров А2 и А1 (токи IA1 и IA2) .

Решение

1. Так как IА = 0, в цепи наблюдается резонанс токов на участке аb. Векторная диаграмма для этого случая показана на рис. 4,б.

Из условия резонанса

bL0bC0 = 0

следует, что частота резонанса

Рис. 4,а

 
ω0 =

1. С учетом того что

,

из уравнения по второму закону Кирхгофа следует

Uab = UUbc = U = 240 В.

В результате, ток в индуктивности

.

3. Так как

IA2  = ,

искомый ток через амперметр А1, как сле-

дует из первого закона Кирхгофа для узла

«b»,

IA1 = IA2I2 = 0 – (-j1, 2) = + j1,2  A.

Ответ:  IA1 = 1,2 A.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 5

Подпись:  Определить индуктивность L и входной ток цепи  в режиме резонанса, если

С = 58мкФ; U = 220 В; f = 50 Гц.

Расчет провести для случаев :

а) r =22 Ом,  б) r = 0.

Ответ:

а) L1 = 0.139 Гн;  Iвх = 10 А

б) L2 = 0.035 Гн,  Iвх = 0.

Задача 6

Подпись:  Показание амперметра А2 равно нулю. Чему равен ток I4, если U = 200 B;  L1 = 0,2 Гн;  r1 = 50 Ом, C3 = 10 мкФ; L4 = 0,1 Гн; C5 =5 мкФ;

r5 = 50 Ом.

Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рис. 6

 
Ответ: I4 = 4,12 A.

Задача 7

Определить резонансные частоты в цепи, если L = 0,01 Гн;
С1 = 0,25 мкФ; С2 = 0,2 мкФ, активным сопротивлением цепи пренебречь.

Ответ: 1. Резонанс токов при

ω1 = 3 ·104 (1/с);

2. Резонанс напряжений при

ω2 = 2 · 104(1/c).

Задача 8

Определить индуктивность катушки L2, если резонанс токов в цепи возникает при ω0 = 2·107 с-1.

Параметры цепи:

r = 20 Ом;  L1 = 20 мГн;  С = 6,25 мкФ.

Ответ: L2 = 15 мГн.

Задача 9

В цепи, изображенной на
рис. 9, имеет место резонанс токов. Амперметр А1 показывает
6 А, показание амперметра А3 составляет 3,6 А. Определить показание А2.

Ответ:  IА2 = 4,8 А.

Задача 10

Цепь находиться в состоянии резонанса Е = 40 В;

UL = 30 B; U12 = 50 B.

Мощность, потребляемая цепью, Р = 40 Вт.

Определить: R, xL, xC.

Ответ:  R = 12,5 Ом;  xL = 6 Ом;  xC = 16,6 Ом.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
1 Mb
Скачали:
0