Практический курс теоретических основ электротехники: Методическое руководство (Раздел VII: Символический метод расчета цепей синусоидального тока (метод комплексных амплитуд)), страница 2

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электроники. – М., 1978. – § 3.4, 3.5, 3.10 – 3.22.

ПРИМЕРЫ

Задача I

1. Представить мгновенные значения ЭДС в комплексной форме.

e1(t) = 40 sin 314t (B)  Þ  E1m = 40 (В);

e2(t)  = 40 sin ( 314t – π/3) (B)  Þ  E2m = 40е –j60º= 40 Ð-600  (В);

e3(t) = 40 sin (314t + 2π/3) (B)  Þ  E3m = 40еj120°= 40 Ð1200 (В).

2. Комплексы действующих значений токов имеют вид

Представить мгновенные значения этих токов.

Ответ:  

i1(t) = 2sin (314t + 120°) (А),   i2(t) = 2sin (314t – 45°) (A).

Задача 2

В схеме (рис. 2,а):

r1 = 6 Ом;

L1 = 6,37 мГн;

Uk1(t)

 
r2 = 4 Ом; 

L2 =14,3 мГн;

r3  = 5 Ом; 

С = 57,8 мкФ;

   uвх(t) = 310 sin (ut + 60°) B,

Рис. 2,а

 
     f = 200 Гц.

Рис. 2а

 
1. Определить ток в цепи, активную и реактивную мощность, напряжение на катушке uк1(t), напряжение на емкости uс(t).

2. Построить топографическую диаграмму.

Решение

1. Сопротивления реактивных элементов цепи синусоидальному току

хL1 = ωL1 = 2πfL1 = 2× 3,14×200 = 8 Ом;

хL2 = ωL2 = 2π×f×L2 = 18 Ом;

хс = =  =  = 14 Ом.

2. Комплекс действующего значения входного напряжения:

Uвх = = 220 Ð60 ° (В).

3. Комплексное сопротивление цепи:

Z= rэкв + jxэкв = (r1 + r2 + r3) + j(xL1 + xL2xс) =

= (6 + 4 + 5) + j (8 + 18 – 14) = 15 + j12 = 19,2 Ð 38, 7° (Ом).

4. Комплекс действующего значения тока:

I =   (A).

5. Мгновенное значение тока.

i(t) = 11,45sin(ωt + 21,3° )  (А).

6. Напряжение на первой катушке

     – в комплексной форме:

Uк1 = IZк1 = I(r1 + jxL1) = 11,45 Ð 21,3° ·(6 + j8) =

= 11,45 Ð 21,30 ·10 Ð 530 = 114,5 Ð 74,3°  (B),

     – в мгновенной форме:

uk1(t) = 114,5sin(ωt + 74,3° )  (B).

7. Напряжение на емкости:

     – в комплексной форме:

UC = IZc = I×(-jxc) = 11,45 Ð 21,3° · 14 Ð -90° = 160 Ð -68,7° (B),

     – в мгновенной форме:

uC(t) = 160sin(ωt – 68,7°) (B).

8. Комплекс полной мощности цепи:

= 220°Ð 60° · 11,45 Ð-21,30 =

= 2500 Ð 38,7° = 1955 + j1560 (BA)

9. Активная мощность цепи:

P = Re {S} = 1955 Вт.

10. Реактивная мощность цепи:

Q = Im {S} = 1560 BАp.

11. Топографическая диаграмма (рис. 2,б).

Полагаем, что ja = 0.

Тогда

Рис. 2

 


j bj a + IjхL2 = 0 + 11,45Ð21,3°× 18Ð90° = 206,1Ð111,3° (B);

jc = jb + I r2 = 206,1Ð111,3° + 11,45Ð21,3°× 4 = 211 ∟98,8° (B);

j d = j c + Ir3 = 230,4 Ð 84,73° (B);

j f= j d + I(-jхc) = 113 Ð 45° (B);

j m = j f + Ir1 = 177,7 Ð 36,2°;

j n = j m + IjхL1 = 220Ð60°.

Проверка:

j а = j nU = 0.

Примечание. Относительно одних и тех же точек цепи напряжение в схеме и на топографической диаграмме имеет противоположную ориентацию.

Задача 3

В схеме (рис. 3):

Е = 120 В;

Z2 = 10 – j15 (Oм);

Z3 = 2 + j6 (Ом);

Z1  = 3,3 + j2 (Ом).

Определить комплексы и мгновенные значения токов в схеме. Составить баланс мощностей. 

Решение

1. Комплексное сопротивление цепи относительно источника:

=

==

= 3,3 + j2 + 7,56 Ð 51,97º = 3,3 + j2 + 4,66 + j5,96

= 7,96 + j7.96 = 11,26 Ð 45° Ом.

2. Комплекс тока  I1:

= 10,62Ð-45º(A).

3. Токи в параллельных ветвях:

I3 = I1I2 = 10,62Ð-45 º - 4,46 Ð 63,3º = 12,8 Ð-64,5º (A).

4. Мгновенные значения токов:

i1(t) = 10,62sin(ωt – 45 º)  (A),

i2(t) = 4,46sin(ωt+63 º20) (A),

i3(t) = 12,8sin(ωt – 64 º30) (A).

5. Мощность источника:

= 120×10,62 Ð 45º = 1275 Ð 45 º = 904 + j904 (BA),

Pист  = Re {Sист} = 904 Вт

Qист = Im {Sист} = 904  Вар.

6. Мощность потребителей

Sпотр = ∑I2Z = I12 Z1 + I22 Z2 + I32 Z3 =

= 10,622×(3,3 + j2) + 4,462×(10 – j15) + 12,82×(2 + j6) =

= 912 + j902 (ВА),

Pпотр = Re {Sпотр} = 912 Вт,

Qпотр = Im {Sпотр} = 902 Вар.

7. Баланс мощностей:         Относительная погрешность

Pист » Рпотр                           ∆ % P =% = 0,89 %

Qист » Qпотр                       ∆ % Q =% = 0,22 %

Задача 4

Подпись:  В цепи (рис. 4,а)

E1 = 127 В; 

E2 = 127 Ð 120° B;

Z1 = Z2 = 1+ j3 (Ом);

Z3 = 4+j3 (Ом).

Определить показание амперметра.

Решение

Наиболее рациональным методом определения тока I3 является метод эквивалентного генератора:

.

Подпись:

1. Комплекс внутреннего сопротивления эквивалентного генератора (рис. 4,б):

2. ЭДС эквивалентного генератора:

Еэкв = Uавхх.

Вариант А

Для выбранного направления тока I1х (рис. 4,б)

 = E1I1xZ1,

где

=

= (А).

В результате,

Еэкв =  = 127 – 34,8 Ð-101,50× (1 + j3) =

 = 127 – 34,8 Ð-101°35×  3,16 Ð 71,5º = 31,6 + j55 = 63,4 Ð60º (B).

Вариант В

По методу двух узлов (рис. 4,б)

=(В)

Таким образом,

Еэкв =  = 63,4 Ð60 º (В).

3.  Комплекс действующего значения тока I3:

=.

4.  Показание амперметра:

A= |I3| = 10 A

Ответ: I3 = 10 A.

Задача 5

Подпись:  Параметры схемы (рис. 5,а)

Z1 = 10 Ом; Z2 = j5 Ом;

Z3 = j10 Ом; Z4 = 5 Ом;

Z5 = -j10 Ом.

ЭДС генератора

Е = 130 В.

Найти все токи, используя методы преобразования электрических цепей.

Построить топографиче

Рис. 5,а

 
                                                  скую диаграмму.

Решение

1. Для преобразования исходной цепи в последовательно-параллельную цепь целесообразно преобразовать  один из «треугольников», например, Z1, Z3, Z5,  в эквивалентную «звезду» Z13, Z15, Z35. В результате, рассматриваемая схема принимает вид, представленный на рис. 5,б с параметрами элементов:

Рис. 5,6

=

2. Ток в ветви с источником ЭДС (рис. 5,б)

=

=.

3. Токи  I2 и I4 :

4. Ток I5 (рис. 5,а):

I5 = .

Как следует из рис. 5,б (второй закон Кирхгофа):

Uсв = I4Z4I2Z2 =

= 7,2Ð-146,3° × 5 – 21,6 Ð-56,3° × j5 = 142,2Ð-146,3° (B).

В результате:

I5 =

5. Остальные токи исходной цепи (рис. 5,а) определяются по первому закону Кирхгофа:

I1 = I2I5 = 21,6Ð-56,3°– 14,42 Ð-56,3° = 7,2 Ð-56,3° (A),

I3 = I4 + I5 = 7,2 Ð-146,3° +  14,42 Ð-56,3° = 16,12 Ð-82,87° (A).