Переходные процессы в нелинейных цепях, страница 2

Y01 и Y02 определяются пересечением продолжений отрезков 1-2 и 2-3 ломаной с осью ординат. Таким образом,                    при      0<i<I1  и  0<t<t1,

          при      I1<i<I2  и  t1<t<t2,

          при     I2<i<I¥   и    t2<t<¥.           

Обозначим  ,      ,    .

Решения каждого уравнения:       при        0<i<I1  и  0<t<t1,

                                при      I1<i<I2  и  t1<t<t2,

                                  при     I2<i<I¥   и    t2<t<¥.

Постоянные интегрирования найдем из условия невозможности скачкообразного изменения тока в точках 0, 1 и 2. Согласно первому закону коммутации i(0)=0; i(t1)=i1; i(t2)=i2.   Тогда   0= I¥+A1   при t=0,    I1= I¥+A2  при  t= t1,    I2= I¥+A3  при  t= t2.

Отсюда           A1= -I¥,            A2= I1-I¥,          A3= I2-I¥.

 Окончательно имеем:         при      0<i<I1  и  0<t<t1,

         при      I1<i<I2  и  t1<t<t2,

          при     I2<i<I¥   и    t2<t<¥.

Значения   t и t2 (припасовка) определим из условий       и   .

Таким образом,   t1=,   t2 = .

График зависимости i(t) представлен на рис. 15.5.

15.5. Метод последовательных интервалов

Это численный метод расчета переходных процессов в нелинейных цепях. Суть его заключается в том, что время переходного процесса разбивают на ряд малых интервалов Dt и на каждом из них дифференциалы величин заменяют конечными приращениями. Переходя от одного интервала к следующему, получают нелинейные характеристики переходного процесса.

Рассмотрим включение катушки со стальным сердечником на постоянное напряжение U. Переходный процесс характеризуется значениями потокосцепления ψ и тока iв начале и конце каждого интервала. Величины в конце К-ого интервала обозначаем индексом K, тогда в начале К-ого или конце К-1 интервала величины имеют индекс К-1.

Дифференциальное уравнение цепи    или    .

Для К-ого интервала       DyK = yK - yK-1 » (U - R iK-1) Dt.

В начале 1-ого интервала  t=0,  y0=0, i0=0,  Dy1=UDt.    y1=y0 + Dy1=UDt.

Для второго интервала   Dy2=(U - R i1)Dt, ,         y2=y1 + Dy2.

И так далее до достижения током значения     .

Расчет удобно выполнять в виде таблицы

K

t

iK-1

U-RiK-1

DyK

yK

iK

1

Dt

0

U

Dy1= UDt

y1=Dy1

i1

2

2Dt

i1

U-Ri1

Dy2= (U-Ri1)Dt

y2=y1 + Dy2

i2

3

3Dt

i2

U-Ri2

Dy3= (U-Ri2)Dt

y3=y2 + Dy3

i3

Очевидно,  что чем меньше интервалы Dt, тем точнее будет выполнен расчет.

В этом примере расчет выполнен методом, предложенным Эйлером. Существуют и другие методы. Например, одних методов Рунге-Кутта 4.

Недостаток этого метода, как и других численных методов, зависимость дальнейшего решения от неточности всех предыдущих значений искомой величины.

15.6. Включение катушки со сталью на синусоидальное напряжение

Дифференциальное уравнение .

В правой части - функция времени; это - уравнение с неразделяющимися переменными. Следовательно, метод аналитической аппроксимации неприменим. Метод КЛА громоздок. Применимы метод условной линеаризации и численные методы интегрирования.

Выполним расчет переходного процесса методом условной линеаризации. В установившемся режиме  wLэ >>R, поэтому слагаемым  Ri  можно пренебречь.

Y¥ »,

где , которому соответствует  Im¥.

Через точку   (Ym¥, Im¥)  проводим прямую

Y= Lэi (рис. 15.6).

Здесь .

Уравнение становится линейным .

Его решение    ,

где .

Обычно    wLэ >>R    и    .    Тогда .

Самый тяжелый переходный процесс при a=0.

.

Графики    Y(t) и  i(t)  представлены на рис. 15.7а и б.

Таким образом, в первые моменты после включения катушки Ymax может достигать 2Ym, а ток Imax  во много раз (20-50 раз) превышает амплитуду установившегося значения.

Например, в силовых трансформаторах значению Ym¥ соответствует , а .

При Вmax=2Вm¥=2,8 Тл;  Imax»50Iхх»2,5Ін. Такой всплеск тока может привести к срабатыванию максимальной токовой защиты при включении трансформатора.