Математика \ Теория вероятностей и математическая статистика

Определенность и неопределенность научного познания. Алгебра событий. Классификация и соотношение случайных событий, страница 14

Выше было рассмотрено получение плотности распределения f(x) по известной функции распределения, как ее первая производная:

f(x)=F’(x)

На практике чаще возникает обратная задача:

Дано: f(x)

Определить: F(x)

В этом случае функция распределения F(x) равна:

F(x)=p(X<x)

16 Числовые характеристики СВ. Общие соображения

В реальной действительности любые СВ как ДСВ так и НСВ могут быть охарактеризованы некоторыми числовыми характеристиками, которые являются некоторым эквивалентом их законов распределения.

Различают два класса числовых характеристик:

1) Характеризуют некоторый центр рассеяния – среднее значение СВ. Относительно этого центра (среднего) СВ группируются, хотя они одновременно и рассеиваются. Свойство некоторого среднего таково что его положение отражает флуктуации (относительное отклонение) СВ относительно среднего значения.

Характеристиками среднего является – математическое ожидание, мода, медиана.

2) Характеризует саму величину рассеяния относительно среднего значения СВ Х. Так, например, при одном и том же среднем рассеивании относительно него может быть различно и чем оно больше, тем выше неопределенность. Числовыми характеристиками рассеивания являются – дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

3.8 Математическое ожидание СВ

Термин математическое ожидание (МО) – возник со времен азартных игр и подразумевал собой ожидание выигрыша. С утверждением теории вероятности возник уточненный термин МО СВ, который в дальнейшем в серьезных дисциплинах избавился от слова выигрыш. Это обусловлено тем, что МО может быть найдено для любого параметра.

– математическое ожидание, где М – оператор взятия МО

Для конкретных параметров:

1) Напряжение

Пусть на некоторой числовой оси имеется некоторое число значений СВ Х с соответствующими им СВ:

x₁, x₂, x₃,…, x_i,…, x_n

p₁, p₂, p₃,…, p_i,…, p_n

Графически на числовой оси:

МО ДСВ есть сумма произведений всех возможных значений СВ на вероятности этих значений:

С физической точки зрения МО представляет собой некоторое среднеквадратичное значение (среднее), которому в механике соответствует центр тяжести.

В нашем случае значения СВ х_i представляют собой некоторое плечо, а соответствующие им вероятности р_i – некоторый вес. Иначе говоря, каждая величина входит в МО со своим весом. Этим МО отличается от среднего арифметического.

Таким образом, МО строго говоря является не просто средним, а среднестатистическим (средневзвешенным).

МО по своему физическому смыслу соответствует точке опоры, в которой техническая система находится в состоянии равновесия, состоянии устойчивости.

Т.к. вероятности в общие случае определяются статистически: р_i^*=m_i/n, где р_i^*– статистический вес, n – вес опоры.

Доказано:

В связи с этим в соответствии с теоремой Чебышева во многих случаях ищется среднее арифметическое и находится его ошибка. Для НСВ МО:

, где f(x)dx=p_i (см. предыдущую лекцию).

Таким образом, МО является важным понятием в теории вероятности, которое позволяет дать устойчивые статистические оценки некоторого среднего значения от Х, относительно которого флуктуирует (колеблется) СВ. В частном случае, если СВ распределена на интервале [a;b], то очевидно: