Алгоритмизированные задания по курсу ТОЭ. Анализ переходных процессов: Методическое руководство, страница 6

Рекомендуемый порядок расчета:

1.  Записать формулу Дюамеля в общем виде

.

2. Найти переходную проводимость g₅(t) для исследуемой цепи, принимая во внимание, что g₅(t) численно равно переходному току i₅(t) в схеме рис.3 при замене e₅(t) на постоянную эдс величиной 1В. При этом, определение  может выполняться классическим или операторным методами расчета переходных процессов.

3.  Определить g₅(t – х), для чего достаточно заменить в формуле g₅(t) величину t на

(t – х).

4. Рассчитать для каждого временного интервала функции e(t). Для этого необходимо найти производную по времени t от заданного закона e(t) для каждого временного интервала, а затем в полученных выражениях заменить t на х.

5. Подставить найденные величины в формулу Дюамеля и записать искомую величину с помощью этой формулы для каждого временного интервала заданной функции e(t).

Ниже приводится пример записи произвольного тока i(t) в общем виде с помощью формулы Дюамеля для графика e(t), показанного на рис.15. Следует обратить внимание на правильность подстановки пределов интегрирования и учета скачков для каждого временного интервала e(t).

Из рис.15 видно, что e(t).изменяется во времени по сложному закону. Начальное значение эдс   e(0).= E₀. В интервале от t = 0 до t = t₁ эдс плавно растет, а закон ее изменения в этом интервале времени e₁(t). В момент t = t₁ она меняется скачком от значения e_a до значения e_b, затем снова изменяется по другому закону e₂(t). В интервале времени от t = t₂ до t = t₃ эдс во времени не изменяется. При t = t₃напряжение скачком уменьшается от значения e_c = e_d до нуля.

        Пусть требуется найти ток в пределах каждого из приведенных интервалов времени. Под первым интервалом будем понимать интервал от t = 0 до t = t₁ (не включая скачок эдс от e_a до e_b); под вторым от t₁ до t₂, включая скачок от e_a до e_b; под третьим от t₂ до t₃ (не включая скачок от e_d до нуля); под четвертым интервалом будем понимать время при t > t₃, включая скачок от  e_dдо нуля.

Интегрирование проводим по х, понимая под t фиксированный момент времени, в который требуется найти ток. Ток в любой момент времени t определяется действием всех эдс, вступивших в действие к этому моменту.

В первый интервал времени (0 ≤ t ≤ t₁)

.

Во второй интервал времени (t₁ ≤ t≤ t₂)

.

Слагаемое (e_b – e_a)g(t – t₁)  обусловлено скачком напряжения от e_a до e_b в момент времени t₁.

В третий интервал времени     (t₂ ≤ t ≤ t₃)

Очевидно, что последний интеграл в выражении для i(t) в рассматриваемом  интервале будет равен нулю, так как , поскольку в этом интервале эдс не зависит от t.

В четвертом интервале времени (t > t₃)

1.4.5. Расчет переходного процесса методом переменных состояния

В соответствии с пунктом 5 и данными карточки 1 задания исходная схема преобразовывается в схему рис.4. Требуется определить ток i₃(t).

Метод переменных состояния относится к разряду методов численного расчета и проявляет свои преимущества при использовании вычислительной техники. В задании рекомендовано осуществить численный расчет переходного режима «вручную».

Если воспользоваться эквивалентной заменой резистивной части послекоммутационной схемы (для t > 0) одной эквивалентной ветвью, то исходная схема (рис.4) может сведена к одноконтурной схеме, представленной на рис. 16. В качестве переменных состояния рассматриваются напряжение на конденсаторе  и ток в индуктивности, определяющие энергетическое состояние переходной цепи. Уравнение по второму закону Кирхгофа для послекоммутационной схемы (рис.16) с учетом указанных на схеме направлений токов и напряжений имеет вид:

                   (21)

В соответствии с требованиями метода переменных состояния, имея в виду, что , уравнение (21) может быть приведено к виду:

.                                                        (22)

Представив дифференциальное уравнение (22) в конечно-разностной форме при допущении,что производная определяет переходную функцию в начале временного интервала, получим

.                                     (23)

Из соотношения (23) вытекает уравнение (24)