Исследование свойств адаптивных систем с эталонными моделями: Методические указания к лабораторным работам по курсу “Адаптивные системы управления”, страница 6

Второй метод Ляпунова нашел применение в задачах синтеза адаптивных регуляторов. Рассмотрим процедуру синтеза для линейного объекта управления (ОУ), модель которого имеет вид

где хÎRⁿ– вектор состояния, nÎR^m – вектор управления; A, B – постоянные матрицы параметров объекта управления, dimA = nxn, dimB = nxm.     Коэффициенты матриц А, В заранее не известны. Известно лишь, что значения коэффициентов ограничены сверху и снизу, т.е.

          для всех     i, j.

Вектор состояния считается доступным измерению, поэтому y = x,  y – вектор выходных переменных.

Желаемая динамика задаётся эталонной моделью вида

где х_м ÎRⁿ – вектор состояния эталонной модели, rÎR^m – вектор задающих воздействий. Выбор эталонной модели зависит от требований, предъявляемых к замкнутой системе (времени переходного процесса, перерегулирования, астатизма и т.д.). Эталонная модель должна быть устойчивой, т.е. матрица коэффициентов А_м – гурвицева, поэтому уравнение det (pI – A_м) = 0 имеет все корни с отрицательной вещественной частью, I – единичная матрица соответствующей размерности, В_м – матрица полного ранга.

Пусть цель функционирования системы задана предельным уравнением

где e(t) – ошибка системы.

Объект управления подвержен влиянию параметрических возмущений. Поэтому в дальнейшем рассмотрим синтез системы с параметрической адаптацией.

Сначала полагаем, что параметры ОУ известны. Для получения структуры «идеального» регулятора запишем уравнение в отклонениях

Условие разрешимости задачи синтеза имеет вид

 ,

разрешая это уравнение относительно u(t), имеем

домножим слева каждую часть уравнения на B^T

полагаем det (B^TB) ¹ 0 , тогда

 .

Если реализовать найденный закон управления, то система будет описываться уравнением

.

Решение этого уравнения равномерно асимптотически устойчиво в силу гурвицевости матрицы А_м. Следовательно, при «идеальном» законе управления поставленная цель достигается.

Уравнение «идеального» закона управления можно записать в виде

где  -  матрицы «идеальных» коэффициентов регулятора.  Соотношения между коэффициентами при х:

для коэффициентов при r :

кроме того

.

 Полученные условия называются условиями согласования модели и ОУ.

«Идеальный» закон управления не реализуем, так как параметры ОУ не известны. Поэтому выполним замену идеальных коэффициентов регулятора () настраиваемыми (k^r, k^x). Структура регулятора описывается уравнением

.                                        (3.1)

На следующем этапе расчета системы определяются уравнения,  в соответствии с которыми настраиваются коэффициенты регулятора, т.е. алгоритмы изменения k^r, k^x.  Получим описание обобщенного настраиваемого объекта в отклонениях. Введем обозначения

,

тогда

 .

Введем расширенную матрицу отклонений настраиваемых коэффициентов от их «идеальных» значений

и вектор сенсоров, элементы которого измеряются или вычисляются на основе измерений

       ,     dim S = p x 1,   p = n + m.

Уравнение для ошибки примет вид

.

Для исследования системы используем функцию вида

   ,

где tr (.) – след матрицы (сумма элементов главной диагонали). Определим производную функции V по времени:

.

Вторая составляющая уравнения обращается в ноль, если

Производная исследуемой функции принимает вид

отрицательная определенность функции следует из гурвицевости матрицы коэффициентов эталонной модели. Матрица Н удовлетворяет уравнению Ляпунова:

Полагая медленное изменение коэффициентов  и учитывая ранее введенные обозначения, получим вид алгоритмов адаптации:

                                                  (3.2)

                                     (3.3)

2.  Методические указания

Рассматривается линейный одноканальный объект управления (1.18), (1.19) с параметрическими возмущениями. Желаемая динамика системы задается уравнением эталонной модели (1.20) по требованиям к качеству переходных процессов, приведенных в таблице 1 (статическая ошибка работы системы равна 5%). В системе эталонная модель реализуется в виде линейного динамического звена второго порядка, дифференциальное уравнение, записанное относительно выходной переменной имеет вид:

 .