Минимизация затрат предприятия. Практика применения логистического подхода: Решение задач

МИНИМИЗАЦИЯ ЗАТРАТ ПРЕДПРИЯТИЯ

1.  Оптимизация использования производственных ресурсов

Один и тот же производственный результат может быть достигнут при различном сочетании производственных факто­ров, например труда и капитала. Если нет ограничений по ис­пользованию ресурсов и задан объем производства, то задача определения оптимального соотношения используемых произ­водственных ресурсов — это задача определения условного экстремума функции производственных затрат: если заданы ограничения по использованию ресурсов и необходимо макси­мизировать прибыль предприятия — это задача линейного про­граммирования. Для случая использования двух производствен­ных факторов она может быть решена графическим способом: для случая использования более двух производственных факто­ров необходимо использовать симплекс-метод. Порядок оптими­зации использования производственных ресурсов для указанных выше случаев поясняется далее на примерах решения задач.

1.1. Аналитический способ решения задач

Задача 1

Дано:

Разрабатывается месторождение. Необходимо пробурить 20 скважин. Производственная функция выглядит следующим образом:

n = 4Х₁^1/2 Х₂^3/2,

где п - число пробуренных скважин;

Х₁ - число часов работы бригады;

Х₂ - число буровых установок.

Зарплата бригады в час -300 $.

Стоимость буровой установки - 5000 $.

Определить  оптимальное  количество  производственных факторов из условия минимума издержек производства (С).

Решение:

Математическая формулировка задачи:

С = 300Х₁ +5000Х₂ → min

при условии: 4Х₁^1/2 Х₂^3/2= 20,

20 = 4Х₁^1/2Х₂^3/2  Х₁ =

С = 300   + 5000Х₂ =7500Х₂^-3 + 5000Х₂,

        (*)

Из уравнения (*) Х₂ = 1.45, но Х₂- число буровых установок (целое число) Х₂=1 или Х₂ =2.

Если Х₂ = l, тo Х₁ = 25 и С= 12 500.

Если Х₂=2, то X₁ = 3,125 и С = 10 937,5.

Ответ: Если использовать две буровые установки и задей­ствовать бригаду рабочих на 3,125 ч, то 20 скважин будут пробурены с минимальными издержками.

1.2. Графический способ решения задач

Задача 2

Дано:

Нефтеперерабатывающее предприятие закупает нефть у двух поставщиков и производит три вида продукции (например, бен­зин, керосин, мазут). Относительная прибыль от продажи про­дуктов, полученных после переработки 1т нефти 1-го поставщи­ка, составляет 500 руб., 2-го поставщика — 600 руб. Существуют ограничения на сбыт каждого вида продукции (см. таблицу).

Трактовка таблицы: из 1 т нефти 1-го поставщика можно получить 0,2 т бензина, 0,2 т керосина, 0,3 т мазута и, продав эти продукты, получить прибыль 500 руб., но предприятие не может продать в день больше, чем 1,8 т бензина, 1,2 т кероси­на, 2,4 т мазута.

Определить: Сколько тонн нефти нужно покупать у каждого из поставщиков в день, чтобы прибыль была максимальной?

Решение:

Введем обозначения:

Q₁- количество тонн нефти, купленное у 1-го поставщика;

Q₂ - количество тонн нефти, купленное у 2-го поставщика.

Математическая модель задачи

Максимизируемая функция прибыли:

F= 500 Q₁+600 Q₂ → max.

Ограничения сбыта:

0,2 Q₁ + 0,3 Q₂   1,8;                           (1)

0,2 Q₁ + 0,1  Q₂  1,2;                           (2)

0,3 Q,₁+ 0,3 Q₂  2,4;                           (3)

Q₁  0; Q₂   0.

Задачу решаем графическим способом. На первом этапе строим область допустимых значений используемых ресурсов (рис.1). На втором этапе определяем значения функции прибыли в пограничных точках области:

F_A = 3600;       F_В = 4050;      F_С= 3000.

Рис. 1 Построение области допустимых значений используемых ресурсов

В точке В значение функции прибыли максимально. Это значит, что значения О₁ и О₂, соответствующие точке В, явля­ются решением задачи.

Ответ: Для максимизации своей прибыли нефтеперераба­тывающее предприятие должно в день покупать 4,5 т нефти у 1-го поставщика и 3 т  у

2-го поставщика.

1.3. Симплекс-метод

Ниже приведен пример решения задачи, в котором отра­жен формальный алгоритм симплекс-метода. Несмотря на то что в настоящее время имеется достаточно программных ком­плексов, реализующих симплекс-метод и от пользователя тре­буется лишь грамотно ввести исходные данные в симплекс-таблицу, автору пособия все таки представляется