Курс лекций по подземной гидромеханике: Учебное пособие по одноименному курсу, страница 29

             а) Уравнение неразрывности фаз.

         Рассмотрим конечный неизменный объём пористой среды , ограниченный поверхностью .   Объём порового пространства  V;   насыщенность порового пространства  i-ой фазой - .

                                        ;           .

Масса i-ой фазы в данном объёме :

                                                       .

Скорость изменения массы i-ой фазы в рассматриваемом объёме :

должна быть равна секундному массовому расходу i-ой фазы через поверхность :              ,

т. е.

                                     .                                  (11)

На основании формулы Остроградского-Гаусса:

                                         .                                    (12)

 (11) запишем в виде:

                                       .                             (13)

В силу произвольности объёма  из (13) получим:

                                     .                                           (14)

Система (14) – система дифференциальных уравнений неразрывности фаз при фильтрации в однородной пористой среде.

   Для двухфазной системы уравнения неразрывности записываются в виде:

 для вытесняющей фазы:           ;                          (15)

для вытесняемой фазы:            .                    (16)

    Если вытесняющая и вытесняемая фазы  - слабосжимаемые жидкости (вода-нефть), т. е. ; , а пористую среду также считать несжимаемой (), то уравнения (15)  (16) приводятся к виду:

                                                  ;                                      (17)

                                           .                                          (18)

                 б) Уравнения движения фаз.

         Из уравнений неразрывности (14) и закона фильтрации фаз (4) можно получить дифференциальное уравнение движения фаз:

–  для многофазной системы:

                             ;                        (19)

–  для двухфазной системы (если жидкости – несжимаемые; пористая среда – несжимаемая):

                                              ;                                (20)

                                            .                                 (21)

3. Одномерная фильтрация двухфазной жидкости.

    Наиболее разработана в настоящее время теория одномерного (прямолинейно-параллельного и плоскорадиального)  движения двухфазной жидкости в пористой среде.

    Рассмотрим прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой вдоль оси Х.        

    При этом предполагается:

      ------ жидкости – взаимно нерастворимы и несжимаемы;

      ------ пористая среда – недеформируема;

      ------ фазовые переходы отсутствуют;

      ------ коэффициенты вязкости фаз постоянны;

      ------ относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление 

      являются известными функциями насыщенности.

Схема одномерной двухфазной  фильтрации с учётом силы тяжести

 


                                     

                                                                                          

                                                                 зона                 нефть            Х

                                                               смеси

                        вода

                         

                                                           g

Уравнения неразрывности для фаз:

                                 .                                       (22)

Закон фильтрации  (4)  сводится к уравнениям:

                                                                        (23)       

                                

           Неизвестные параметры: ; ; ; ;  .

Давления  и  связаны соотношением:

                                      .                              (24)

Система уравнений  (22,23,24)  может быть сведена к одному уравнению для насыщенности  (1953 г., Л. Рапопорт и В. Лис).

         Сложив уравнения неразрывности (22) для обеих фаз, получим:

,