Изучение численного метода Рунге-Кутты для решения ОДУ первого порядка, страница 2

1-ый модифицированный метод Эйлера

2. Составим программу для вычисления решения по методу Рунге-Кутты

3. Графики точного решения T(t) , приближенного решения M1 и приближенного решения  RK по методу Рунге-Кутты

Рис.11.1   

4. Оценка ошибки по методу Рунге  при выбранном шаге h

  Погрешность     

Восстанавливаем первоначальную величину шага и количество шагов

Погрешность по Рунге свидетельствует о том , что в любой точке   значение функции , полученное при величине шага h/2 , отличается от  точного не более, чем на  max(ε).

5.Критерий выбора оптимального шага

   Возьмем                 

6. Использование встроенных функций Mathcad

Теперь рассмотрим применение блока Given-Odesolve

Уравнение  записывается в стандартном виде относительно независимой переменной . Знак равенства взят из булевых операторов. Начальное значение численного решения должно быть   указано  перед командой Odesolve , в которой надо указать имя переменной, вторую границу интервала и количество шагов

Решение получим в виде таблицы значений или графика.

Точность блока Given-Odesolve  10^-5.

11.6 Содержание отчета

1. Титульная страница с названием работы.

2. Задание.

3.  Назначение работы и краткие теоретические сведения.

4. Расчет решения заданного ОДУ методом Рунге- Кутта, 1-м модифицированным Эйлера, совмещенный график полученных решений

5. Расчет  ошибки интегрирования по методу Рунге

6. Выбор оптимального шага интегрирования по критерию max(O).

7. Получение численного решения уравнения встроенными функциями .

8. Выводы по результатам.

11.7  Контрольные вопросы

1. Суть метода Рунге-Кутта.

2. Графическая интерпретация коэффициентов Рунге-Кутта.

3. Ошибка метода Рунге-Кутта.

4. Правило Рунге по оценке ошибки интегрирования ОДУ.

5. Критерий выбора оптимального шага.

6. Применение встроенных  функций rkfixed, Rkadapt .

7. Использование блока Given-Odesolve  .

11.8   Литература

  1. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы вычислительной математики.- Москва, Наука,1970 г.-664 с.

2. Копченова Н.В., Марон И.А., Вычислительная математика в примерах и задачах.-М.,Наука,1972 г.-368 с.

3. Шапорев С.Д., Методы вычислительной математики их приложения-СПб, СМИО Пресс,2003 г.,-232с.

4. Кирьянов Д.В., самоучитель Mathcad 11.-СПб,БХВ Петербург,2003 г.

5. Плис А.И., Сливина Н.А., Mathcad : математический практикум.-М.: Финансы и статистика,1999.