Рабочая программа дисциплины "Численные методы" для специальности "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем", страница 2

Квадратурные формулы. Алгебраическая степень точности квадратурных формул. Интерполяционные квадратурные формулы и их алгебраическая степень точности. Теорема о точности вычисления интеграла по интерполяционной квадратурной формуле. Квадратуры Гаусса наивысшей алгебраической степени точности. Теорема о наивысшей возможной алгебраической степени точности квадратурной формулы. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования квадратур наивысшей алгебраической степени точности. Теорема о существовании и единственности квадратуры Гаусса. Теорема о точности вычисления интеграла по квадратурной формуле Гаусса. Теорема о сходимости квадратур Гаусса. Положительность весов квадратур Гаусса. Численная устойчивость квадратурных формул Гаусса. Простейшие квадратурные формулы: прямоугольников (на одном узле), трапеций (на двух узлах), Симпсона (на трех узлах). Составные квадратурные формулы: прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Тема 3. Численное дифференцирование.

Операторы сдвига, разностные отношения: вперед, назад, центральная разность. Точность численного дифференцирования. Разностные отношения высших порядков.

После изучения Раздела 1 студенты должны уметь: строить алгебраические интерполянты функций, заданных аналитически или таблично, численно интегрировать и дифференцировать функций.

РАЗДЕЛ 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ И СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Тема 1. Численные методы решения нелинейных уравнений.

Теорема о неподвижной точке сжимающего отображения (принцип сжимающих отображений). Метод последовательных приближений (метод простой итерации) для решения нелинейных уравнений. Теоремы о достаточных условиях сходимости метода простой итерации. Метод Эйткена ускорения сходимости. Метод Ньютона. Модификации метода Ньютона. Метод Ньютона с параметром. Теоремы о достаточных условиях сходимости метода Ньютона.

Тема 2. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Основные сведения о векторах и матрицах. Обусловленность матрицы. Теорема о LU разложении. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Модификации метода Гаусса. Метод прогонки и его обоснование для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости стационарного итерационного метода. Метод простой итерации (Ричарсона). Выбор оптимального параметра в методе Ричарсона. Теорема Самарского о достаточном условии сходимости неявного стационарного итерационного метода. Метод Якоби. Достаточные условия сходимости метода Якоби. Метод Зейделя. Достаточные условия сходимости метода Зейделя. Метод минимальных невязок. Теорема о сходимости метода минимальных невязок.

После изучения Раздела 2 студенты должны уметь: численно вычислять корни нелинейных уравнений и находить решения систем линейных алгебраических уравнений прямыми и итерационными методами.

РАЗДЕЛ 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Тема 1. Численные методы решения задачи Коши.

Одношаговые методы решения задачи Коши: метод Эйлера, метод Эйлера-Коши, метод прогноза и коррекции, метод Рунге-Кутты. Многошаговые методы типа метода Адамса.

После изучения Раздела 3 студенты должны уметь: численно находить решения обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Требования к знаниям и умениям:

Студенты должны свободно владеть:

1.  основами дифференциального и интегрального исчисления:

·  понятие о непрерывности функций, производная и исследование функций (нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонности функций, касательная к графику функции, условия возрастания и убывания функции, экстремумы, построение графиков функций с выявлением промежутков монотонности, экстремумов, асимптот, нахождение наибольших и наименьших значений), таблица производных основных элементарных функций, производная сложной функции, Теоремы Ролля, Лагранжа, ряд Тейлора;

·  первообразная и неопределенный интеграл, обращение таблицы производных в таблицу первообразных, решение элементарных примеров на вычисление первообразных, замена переменных, техника вычисления первообразных, правило интегрирования по частям, понятие определенного интеграла, формула Ньютона-Лейбница;

2.  понятием многочлена от одной переменной (корень многочлена, рациональные корни алгебраических уравнений, умножение и деление с остатком.);

3.  основными понятиями линейной алгебры: операции с векторами (сложение, умножение на число), линейная независимость векторов, базис пространства, скалярное произведение, линейный оператор в конечномерном пространстве, матрица линейного оператора, действия над матрицами (сложение, умножение, транспонирование, вычисление обратной матрицы), собственный вектор и собственное число квадратной матрицы, теорема существования и единственности решения системы линейных алгебраических уравнений, Жорданова форма матрицы.

5. Перечень литературы

1. Бабенко К.И. Основы численного анализа.- М.: Наука, 1986.
2. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1975.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987.
4. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чиженков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М., Высшая школа, 2000.
5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - Ч.1.- М., Наука, 1966. То же.- Ч.2.- Физматгиз, 1962
6. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978.
7. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск, Наука, 1993.
8. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И.  Вычислительные методы. - Т.I.- М.: Наука, 1976. То же.- Т.II.- M.:Наука, 1977
9. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.
10. Сорокин С.Б. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. Сборник задач. Новосибирск, НГУ, 1992.