Электрические фильтры. Классификация. Условия пропускания и задерживания цепочечных схем. Полиномиальные фильтры LC. Виды аппроксимации, применяемые при синтезе фильтров. Электрическая линия, как четырехполюсник. Затухание передачи полного и неполных четырехполюсников

Страницы работы

Содержание работы

8. Ур-ия чет-ка с У-пар-ами. Физич. смысл пар-ов. Связь между пар-ами в случаях симметричн. и обратимости.Схемы замещения

17. Электрические фильтры. Классификация. Простейшие частотные электрические фильтры. Условия пропускания и задерживания цепочечных схем.

26. Полиномиальные фильтры LC. Виды аппроксимации, применяемые при синтезе фильтров.

35. Электрическая линия, как четырехполюсник. Уравнения линии, как четырехполюсника.

Обозначим

и перепишем уравнения четырехполюсника, решенные относительно токов, в виде:

где Y11 - входная проводимость четырехполюсника, измеренная на входе при закороченном выходе;

Y 22 - входная проводимость, измеренная на выходе при закороченном входе;

Y12 и Y 21 - проводимости передачи, измеренные при закороченных входах.

Для обратимого 4-хполюсника Y12=Y21. Входные проводимости короткого замыкания Y11 и Y22 симметричного четырехполюсника равны.

У обратимого симметричного четырехполюсника независимы два параметра: входная проводимость и проводимость передачи. Остальные находятся из условий: Y12=Y21, Y11=Y22.

 - называют матрицей проводимостей короткого замыкания четырехполюсника.

В устройствах автоматики, телемеханики и связи часто возникает задача выделения полезных сигналов из смеси различных сигналов и помех. Если  полезные сигналы и помехи различаются занимаемыми частотными полосами, то такое разделение осуществляют частотными электрическими фильтрами. Частотные фильтры, отделяющие элек­трические колебания токов с одними частотами от колебаний с дру­гими частотами, применяют в самых разнообразных частотных диапазо­нах. Простейшими фильтрами могут служить цепи rCили реактивные двухполюсники. Однако наиболее распространены фильтры, представляющие собой четырехполюсники, составленные из реактивных двухполюсников по цепочечным или мостовым схемам. Эти фильтры отличаются от про­стейших фильтрующих цепей более качественными частотными харак­теристиками. По сравнению с используемыми в качестве фильтров цепя­ми rС они имеют в полосе пропускания теоретически нулевое, а прак­тически весьма малое затухание. От активных фильтров rС их выгодно отличает возможность работы при больших токах, например, в цепях тяговых сетей и рельсовых цепях. В то же время фильтры LCимеют и недостатки: невысокую добротность элементов (особенно катушек индуктивности) и значительные габаритные размеры, что затрудняет их использование на сверхнизких и высоких частотах.

Учет влияния сопротивления нагрузки фильтра требует полного анализа его свойств как четырехполюсника. Последнее может быть осуществлено использованием любого полного набора параметров че­тырехполюсника.

Для анализа и синтеза реактивных фильтров наиболее удобно ис­пользовать собственные параметры передачи g и Zx. Цепочечные фильтры представляют собой каскадное соединение Г-, Т- или П-образных четырехполюсников, содержащих реактивные сопротивления.

 Это выражение справедливо для Т- и П-образных четырехполюс­ников Для Г-образного  полузвена постоянная передачи в 2 раза меньше. Из определения электрического фильтра следует, что его затухание в полосе пропускания должно быть минимальным (теоретически рав­няться нулю), а в полосе задерживания зависеть от частоты (быть максимальным). С учетом этого условия пропускания и задерживания цепочечных фильтров можно получить, анализируя зависимость по­стоянной передачи цепочечных схем от параметров схемы в широ­ком диапазоне частот. Напомним, что собственная постоянная передачи g= а + jbоп­ределяет затухание и фазовый сдвиг четырехполюсника в условиях согласованной  нагрузки   (Zn = Zx).   Проанализируем   выражение(1.1)

При чисто реактивном характере сопротивлений Zxи Z2 возможны два варианта их соотношений.

Вариант 1. Величины Z1и Z2 — реактивные сопротивления одного знака, в этом случае положительное вещественное число, не зависящее от частоты.

Тогда из равенства (1.1) получим два уравнения:

=0      (1.2)

Так как не может быть равным нулю, то из уравнений (1.2) следует что, при этом , а  (1.3)

Таким образом,  четырехполюсники, сопротивления Z1и Z2 которых имеют одинаковые реактивные знаки во всем диапизоне частот не могут быть фильтрами, поскольку их затухание является постоянной не зависящей от частоты величиной.Это обычные делители напряжения.

Вариант  2. Величины Z1и Z2 - реактивные сопротивления различных знаков, тогда

-мнимое число, не зависящее от частоты. В этом случае равенство (1.1) распадается на два уравнения: (1.4)

Система уравнений (1.4) допускает два решения

Первое решение:(1.5)

Второе решение: Здесь возможны два режима: режим пропускания, соответствую­щий первому решению, когда затухание а = 0, и режим задерживания, соответствующий второму решению, когда а ≠0. Следовательно, че­тырехполюсник цепочечной схемы, образованный из реактивных со­противлений Z1и Z2 разных знаков, является электрическим фильтром.

Виды аппроксимации. Функция передачи ФНЧ в общем случае может быть представлена в виде  (1.1) Чем выше порядок фильтра n, тем больше элементов в его схеме и более резко осуществляется переход от полосы пропускания к полосе задерживания. Однако ни одна реальная схема, содержащая  конечное число элементов, не может дать желательной хар-ки. И таким образом встает задача приближения указанной зависимости к функции вида (1.1) - задача аппроксимации.  При расчете фильтров в завис-ти от конкретных требований, предъявляемых к нему со стороны системы, эл-ом кот. он яв­ляется, примен. несколько видов приближения фун-ии передачи фильтра к идеальной. Виды аппроксимации: максимально плоская, равноволновая, обратная чебышевская, эллиптическая. Максимально плоская аппроксимация (Баттерворта). При использова-нии максимально плоской аппроксимации модуль функции передачи фильтра аппроксимируется монотонной кри­вой в полосах пропускания и задерживания. Для определения модуля фун-ии передачи фильтра следует ис­ключить из рассмот-рения фазочастотную хар-ку. Это можно осуществить, перейдя к формуле (1.1) к квадрату модуля фун-ии передачи и учитывая, что pн=jΏ:   |F =F(jΏ)F(jΏ)=(1.2) Из выражения (1.2) следует, что при Q < 1 младшие степени вно­сят большой вклад в его знаменатель, и, следовательно, приводят к существенному уменьшению коэффициента передачи фильтра. Поэтому для того чтобы фун-ия передачи была максимально плоской на частотах, меньших частоты среза, необходима зависимость фун-ии |F (Ώ)| только от старшей степени Ώ.  Равноволновая аппроксимация (Чебышева). Эту аппроксимацию осуществляют на основе использования полиномов Чебышева. Ап­проксимирующая фун-ия в полосе пропускания фильтра имеет коле­бательный хар-р с равными отклонениями от заданной фун-ии и монотонный в области задерживания, что опред. св-ми полиномов Чебышева. Полиномы Чебышева имеют вид: Функция Тn (х) колеблется в пределах ±1 в интервале |х| < 1 и монотонно возрастает при |х| > 1. алгебраическая форма полиномов Чебышева: -1)+ Вид полиномов Чебышева первых четырех порядков:

Полиномы Чебышева из всех многочленов степени n наименее ук­лоняются от нуля на отрезке - 1 <х< 1, что является важной их особенностью. Таким образом, фильтры Чебышева характеризуются двумя пара­метрами - порядком и допустимой неравномерностью затухания в полосе пропускания. Обратная чебышевская аппроксимация. Этот вид аппроксимации характеризуется монотонностью аппроксимирующей фун-ии в поло­се пропускания и колебательным характером в области задерживания. Квадрат модуля функции передачи при этом имеет вид: (1.6) Фун-ия передачи монотонна в полосе пропускания фильтра (т. е. при  < 1), если аргумент многочлена Тn (х) больше единицы. Фильтры, модуль фун-ии передачи которых определяется выра­жением (1.6), называют обратными (инверсными) фильт­рами Чебышева. Фун-ия передачи таких фильтров колеблется в об­ласти задерживания с амплитудой F = Таким образом, использование полиномов Чебышева дает воз­можность получить равноволновое приближение аппроксимирующей функции к заданной в полосе пропускания или в области задержива­ния фильтра. Эллиптическая аппроксимация. Она позволяет добиться равноволнового хар-ра приближения аппроксимирующей функции к за­данной в полосе пропускания и вобласти задерживания фильтра, для чего используют эллиптические функции Якоби. Выбор того или иного вида аппроксимирующей  функции  зависит от конкретных   требований, предъявляемых к фильтру со стороны системы, элементом которой он  является. У фильтров Баттерворта  меньшая, чем у фильтров Чебышева или эллиптических фильтров того же порядка, крутизна нарастания затухания в области задержива­ния, однако они имеют максимально плоскую характеристику в поло­се пропускания. В тех случаях, когда можно допустить некоторую не­равномерность затухания в полосе пропускания за счет увеличения крутизны нарастания затухания в переходной области, предпочтитель­ны фильтры Чебышева или же эллиптические, обладающие лучшими свойствами, чем чебышевские, однако более сложные в реализации. Если необходимо обеспечить значительную крутизну нарастания зату­хания в переходной области и плоскую хар-ку в полосе про­пускания фильтра, то используют обратные фильтры Чебышева.

Параметры линии как четырехполюсника.Любую пассивную ли­нейную электрическую цепь с постоянными пар-ами и четырьмя зажимами, используемую для передачи электрической энергии в каче­стве промежуточного звена, можно рассматривать как четырехполюс­ник. К числу таких цепей относят однородную уединенную электричес­кую линию. Уравнения линии как четырехполюсника должны связывать че­тыре величины: U(0), I (0), U(l) и I (l). Для их получения вернемся к выражениям : ;  I(0)=;

Преобразуем выражения , подставив в них значение = (ZHZK)/ (ZH+ ZK) и заменяя U (l)/Znна I(l). Имея в виду, что ; /(1+η)=; Получим:  U(0)=U(l)+ U(l)/(1+η)= U(l)ch+I(l)

I(0)= Здесь величина  представляет coбoй отраженную, а величина U(l) падающую волны напряжения на выходе линии.

Обозначим   U (0) = U0; I(0) = I0; Ul(l) = Ul ; I(l)=Il.  и сопоставим уравнения электрической линии и четырехполюсника: U(0)=Ulch 

U1=AU2+BI2;  I1=CU2;  Из сопоставления этих уравнений следует, что матрица пар-ров ли­нии

Линия как четырехполюсник симметрична, так как A = D. Совершенно очевидно, что уравнения линии можно представить все­ми формами уравнений четырехполюсника. Матрица проводимостей  линии

а матрица сопротивлений 

Таким образом, однородную ли­нию, рассматриваемую как симмет­ричный четырехполюсник, можно характеризовать двумя независи­мыми комплексными коэфф-­ами, задаваемыми различными способами: первичными пар-ами Zл, Yл, волновыми или вторичными пар-ами Zв и l, третич­ными пар-ами A, В, С, а также матрицами проводимостей и сопротивлений. Линию как систему передачи сигналов наиболее удобно характери­зовать волновыми параметрами: волновым сопротивлением Zв и коэффи­циентом распространения l. Волновое сопр-ние показ., как следует подобрать сопр-ния генератора и при­емника, чтобы в линии отсутствовали отраженные волны. Коэф-­ент распространения волны l указ. на потери и фазовый сдвиг, возникающие при пробеге волны вдоль линии. Величины lи ZB впол­не хар-уют передающие св-ва линии при согласованной на­грузке. В общем случае, рассматривая линию как четырехполюсник, усло­вия передачи энергии от генератора к приемнику  можно хар-ать входным сопр-нием, сопро­тивлением передачи или приведенным сопр-нием.

;

Это выражение верно при активныхRн и комплексных Zн сопротивлениях нагрузки.

В частныхслучаях приRн (короткое замыкание) и Rн= ∞ (холостой ход) получим:

  Сопротивление передачи  и  приведенное сопротивление линии:

)sh  При Rг=Rн=R   Zприв=; Можно видеть, что наличие отраженных волн в линии в большей степени влияет на величину Znep. и в меньшей — на  так как в последнем в числителе стоит 2.Использование понятий Znep и Znpив облегчает решение многих за­дач при определении напряжений и токов в линиях.

Похожие материалы

Информация о работе