Аксиоматика. Начальные теоремы теории конечных геометрий, страница 3

Согласно принципу двойственности мы имеем право в толькочто доказанной теореме поменять местами слова “точка” и “прямая”, тем самым получив новую теорему. Сформулируем ее.

Теорема 2.2. Каждая точка инцидентна, по крайней мере, трем прямым.

Так как данная теорема двойственна теореме 2.1, которая уже доказана, то в доказательстве теоремы 2 нет необходимости.

Мы доказали, что каждая прямая  инцидентна, как минимум, трем точкам, а каждая точка – трем прямым. Но возникают вопросы. А сколько же всего точек может быть инцидентно прямой? Сколько всего прямых может быть инцидентно точке? На эти вопросы мы не можем дать ответа, опираясь на имеющиеся аксиомы. Поэтому возникает необходимость ввести аксиому А.

А. Существует прямая инцидентная (q + 1) точке, где q – некоторое подходящее натуральное число (q  2).

Заметим, что q не может быть равно 1, так как по теореме 1, каждая прямая инцидентна по крайней мере трем точкам.

Определение 2.2. Система точек и прямых, удовлетворяющая аксиомам А- А называется  конечной проективной плоскостью.

Аксиома  А требует наличие одной прямой, инцидентной ровно q + 1 точке. Никаких ограничений на количество точек, инцидентных другим прямым нет. Следующая теорема существенно поясняет положение дел.

Теорема 2.3. Каждая прямая инцидентна точно (q + 1) точке

Доказательство. ПустьL – прямая, которая, согласно аксиоме А, инцидентна (q + 1) точке. Пусть L’- произвольная прямая, отличная от L. Докажем, что прямая L’ инцидентна также (q + 1) точке. В силу аксиомы А, прямые L и L’ инцидентны единственной точке. Обозначим ее P.

Возьмем точку А, неинцидентную ни одной из прямых L и L’(аксиома А). Рассмотрим прямые, соединяющие точку А с каждой точкой прямой L, то есть прямые АР, АР,…,АР, А P. Согласно аксиоме А, прямые АР и L инцидентны точке Р, прямые АР и L – точке Р,…, прямые АРи L – точке Р, прямые А P и L - точке P. По аксиоме А, каждая пара прямых, состоящая из прямой L’ и прямых АР, АР,…, АР, А P   инцидентна единственной точке. Обозначим эти точки Q, Q, Q,.., Q, P.То есть прямая L’ инцидентна точкам Q, Q, Q,.., Q, P. Прямая L’ не может быть инцидентна большему количеству точек. Если бы L’ была инцидентна какой-либо точке Х, отличной от точек Q, Q, Q,.., Q, P, тогда, согласно аксиоме А, существовала бы прямая АХ. Следовательно, прямые АХ и L были бы инцидентны некоторой точке У (аксиома А), отличной от Р, Р,…,Р, P. Но по условию теоремы прямая L инцидентна точно (q + 1) точке. Следовательно, ни одна из точек, отличных от Q, Q, Q,.., Q, P не может быть инцидентна прямой L’. Значит прямая L’ инцидентна точно (q + 1) точке.          Теорема доказана.