Расчет движения системы. Расчет лагранжиан точки и составление ее уравнения движения в системах координат

Задачи Аналитическая динамика:( Пятницкий Е.С.)

12.8  В следующих задачах движение системы определяется лагранжианом L. Найти движение системы, если

                 а)   

                 б)     

                 в) 

12.9. Свободная материальная точка массы т движется в потенциальном силовом поле, причем П =П(x,у,z,t). Декар­товы координаты точки х, у, zсвязаны с ортогональными кри­волинейными координатами  равенствами

х = х(),   У = У(),   z = z().

Найти лагранжиан точки в координатах , используя коэффи­циенты Ламе

=  

( k=1,2,3)

12.10.  Точка массы т движется в силовом поле с потен­циалом П(x, у, z).  Найти лагранжиан точки и составить ее уравнения движения в следующих системах координат:

а) цилиндрические координаты;

б) сферические координаты;

в) параболические координаты и,v, : х =  у= .

12.11.  Для плоского движения материальной точки в сило­вом поле с потенциалом П (х, у) найти лагранжиан в координа­тах и ,  связанных с декартовыми координатами равенствами

12.12.   Найти функцию Лагранжа и составить уравнения дви­жения двух материальных точек с массами   и ,  притяги­вающихся одна к другой по закону Ньютона. Выписать также интегралы движения системы.

Указание. За обобщенные координаты принять декартовы координаты х, у, zцентра масс системы, расстояние между точками rи углы и (широты и долготы), которые опреде­ляют направление прямой, соединяющей точки.