Механическая колебательная система и методы ее анализа. Кинематика колебаний и возбуждающие нагрузки. Динамические характеристики системы - импеданс и адмитанс, страница 11

Наряду с механическими колебаниями существуют колебания в электрических цепях. Они описываются формально теми же дифференциальными уравнениями, что и уравнения для механических колебаний. Это приводит к аналогии уравнений, которая используется в настоящее время для создания электрических установок, описывающих процессы в механических системах.

На рис. 3.30,а изображена колебательная система с одной степенью свободы. Дифференциальное уравнение колебаний этой системы, записанное относительно скорости v, имеет вид

.                                                                                                                   (3.34)

На рис. 3. 30,б изображена электрическая цепь, в которую последовательно включены индуктивность L, емкость С и сопротивление R. При подаче в цепь напряжения  колебания тока i в цепи описываются дифференциальным уравнением

.                                                                                                                   (3.35)

Для другой цепи-модели, изображенной на рис. 3.30,в, в которой параллельно включены емкость С, индуктивность Lи проводимость gк в которую подается ток I(t) = I0ejωt, колебания напряжения и описываются дифференциальным уравнением

.                                                                                                                   (3.36)

Две модели (рис. 3.30,б и рис. 3.30,в) представляют два различных электрических аналога механической колебательной системы, изображенной на рис. 3.30,а, а дифференциальные уравнения (3.35) и (3.36) выражают две системы аналогии уравнения (3.34). Если взять, например, уравнение (3.35), то выбрав значения величин L, Rи С, равными соответствующим значениям величин т, rи 1/cв уравнении (3.34), сможем решить задачу о механических колебаниях с помощью наблюдений над электрической системой. То же самое можно сделать с уравнением (3.36).

Описанные аналогии позволяют указать всю систему соответствия величин, относящихся к механической и электрической системам. В качестве механических величин могут использоваться как линейные, так и угловые перемещения, как силы, так и моменты, т.е. обобщенные координаты и обобщенные силы. Ниже приводится таблица электрических аналогов механических величин по двум системам аналогий.

Рис. 3. 30. Механическая колебательная система

и ее электрические аналоги

При действии нагрузки, состоящей из многих гармоник,

колебания системы выражаются формулой


Таблица электрических аналогов механических величин

Механическая система

Электрическая цепь

1-я система аналогий

2-я система аналогии

Обобщенная координата- перемещение, угловое перемещение x, θ

Заряд q

Магнитное потокосцепление ψ

Обобщенная скорость - скорость, угловая скорость

,       

Ток

Напряжение

Обобщенная сила- сила, момент P, M

Напряжение

Ток

Виртуальная работа

Pdx, Mdθ

idψ

Обобщенная масса - масса, момент инерции m, J

Индуктивность L

Емкость С

Количество движения, момент количества движения

Магнитное потокосцепление

Заряд q

Упругая податливость- линейная, угловая 1/с, 1/с'

Емкость С

Индуктивность L

Коэффициент сопротивления трения r, r'

Омическое сопротивление R

Омическая проводимость g

Кинетическая энергия

,

Магнитная энергия

Электрическая энергия

Потенциальная энергия

,

Электрическая энергия

Магнитная энергия

Диссипативная функция

,

Рассеяние энергии

Рассеяние энергии

Механический импеданс

,

Импеданс

Адмитанс

.                                                                                                                   (3.37)

При действии на линейную систему случайной нагрузки со сплошным спектром спектральная плотность Фxx(ω) обобщенной координаты x(t) для установившихся колебаний выражается через спектральную плотность Фpp(ω) нагрузки P(t) формулой