Механическая колебательная система и методы ее анализа. Кинематика колебаний и возбуждающие нагрузки. Динамические характеристики системы - импеданс и адмитанс, страница 10

.                                                                                                                   (3.24)

В обоих случаях (при отсутствии затуханий и при наличии затуханий) движение состоит из собственных и чисто вынужденных колебаний.

При отсутствии затухания, если частота внешней силы становится равной частоте собственных колебаний системы, третье слагаемое (3.21), выражающее чисто вынужденное колебание, приобретает неограниченное значение и, значит, решение в виде стационарного колебания с постоянной амплитудой теряет смысл. На самом же деле при ω = ω₀ вынужденное движе­ние описывается выражением

                                                                                                                   (3.25)

и представляет собой сдвинутое по фазе на π/2 по отношению к возмущающей силе нестационарное колебание с неограниченно возрастающей по линейному закону во времени амплитудой.

При наличии затухания, если ω = ω₀, амплитуда вынужден­ного колебания по формулам (3.23) и (3.24) всегда является ограниченной.

Отметим, что при наличии затухания в системе с течением времени первые слагаемые (собственные колебания) формул (3.23) и (3.24) в силу затухания исчезают, остаются только чисто вынужденные колебания (третье слагаемое).

Для чисто вынужденных колебаний будем иметь

а) — без затухания

,                                                                                                                   (3.26)

б) — с затуханием

,                                                                                                                   (3.27)

,                                                                                                                   (3.28)

.                                                                                                                   (3.29)

Диаграмма амплитуд  и  фаз в зависимости от коэффициента γ показана на рис. 3.27.

3.4. Динамические характеристики системы —

импеданс и адмитанс

Кривые на рис. 3.28 показывают, что при действии на систему периодической силы амплитуда колебаний зависит от частоты, что можно характеризовать как изменение с частотой сопротивления или податливости системы. Мерой указанных величин являются:

						Рис. 3.29. Адмитанс
		Рис. 3.28. Импеданс

 

а) отношение силы к   скорости вынужденного колебания - импеданс на основании формулы (3.24).

;                                                                                                                   (3.30)

б) обратная величина— отношение скорости вынужденного колебания   к силе — адмитанс

.                                                                                                                   (3.31)

Эти величины являются функциями частоты и могут быть изображеныграфически. При наличии затухания эти величины комплексны и кривые, их изображающие, имеют пространственный характер (рис. 3.28 и 3.29). При отсутствии трения 6удем иметь

,                                                                                (3.32)

и плоские кривые. Множитель j указывает на то, что ординаты этих кривых сдвинуты по фазе относительно силы на 90°. Выражения

,                                                                          (3.33)

называются динамической жесткостью и, соответственно, динамической податливостью механической системы. Эти величины играют большую роль для расчетов и экспериментальных исследований колебательных систем.

3.5. Электрическая аналогия механических колебаний