Исследование движения неконсервативной системы (Образец выполнения курсовой работы)

Страницы работы

40 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

положение каждого из которых по отдельности при плоском движении характеризуется тремя параметрами, наложено четыре связи, одна из которых - дифференциальная интегрируемая. Следовательно, рассматриваемая механическая система является голономной с двумя степенями свободы:

s= 3Nkg= 3ּ2 – 3 – l = 2,

где     kчисло геометрических связей; g-число дифференциальных связей.

В качестве обобщенных координат выберем горизонтальное смещение и центра масс диска и угол φповорота стержня – рисунок 3:

Рисунок 2 – Схема механической системы

 

Рисунок 3 – Положение механической системы при малых положительных приращениях обобщенных координат

 
 


Координаты любой точки механической системы, могут быть выражены через обобщённые. Покажем, как на основании уравнений связи (2), (4), (5), координаты из набора (1) выражаются через обобщенные:

,   ,   ,

,   .                                                                                                                        (6)

1.2  Дифференциальные уравнения малых колебаний

Дифференциальные уравнения малых колебаний получаем, используя уравнения Лагранжа второго рода в следующей форме:

,   i = 1, 2.

Здесь Т - кинетическая энергия, П - потенциальная энергия, R - диссипативная функция Рэлея.

Для вычисления Т, П и Rпридаем обобщенным координатам и обобщенным скоростям малые положительные значения (положительные значения и и φ показаны на рис. 5.3).

При вычислении кинетической энергии механической системы учитываем, что оба инерционных элемента совершают плоское движение:

.                                                                                                                        (7)

Потенциальная энергия механической системы складывается из потенциальной энергии деформации упругого элемента и потенциальной энергии положения центра тяжести физического маятника:

.

Примем допущение о малости отклонений механической системы от положения равновесия. В этом случае соотношения (6), связывающие физические ко­ординаты с обобщёнными координатами, могут быть упрощены:

.                                                                                                                        (8)

После подстановки выражений (8) в кинетическую и потенциальную энергии и учитывая заданное соотношение mg= Cr, получаем:

                                                                                                                         (9)

Диссипативная функция Рэлея, по определению равная половине мощности рассеяния энергии в демпферах, содержит два слагаемых, соответствующих демпферам k1и k2:

.                                                                                                                      (10)

Подставляя Т, П, Rв уравнения Лагранжа второго рода, получаем:

                                                                                                                      (11)

или в матричной форме

.

Здесь           {q} =  - вектор-столбец обобщенных координат,

 - матрица инерции,

 - матрица демпфирования,

 - квазиупругая матрица.

2 Собственные частоты и собственные формы механической системы

Строго говоря, собственные частоты диссипативной системы, описываемой уравнениями (11), это комплексные числа, определяющие как частоту колебаний системы, так и скорость их затухания. Точно так же формы колебаний представляются комплексными числами, показывающими, что эти формы характеризуются не только соотношением амплитуд масс системы, но и сдвигом фаз этих амплитуд друг относительно друга. Однако в подавляющем большинстве случаев, представляющих практический интерес, влияние трения как на собственные частоты колебаний, так и на их формы оказывается достаточно малым. Поэтому, под собственными частотами и формами диссипативной системы (11) понимают, обычно, собственные частоты и формы соответствующей консервативной системы, т.е. системы (12), получаемой из (11) отбрасыванием диссипативных членов:

                                                                                                                      (12)

Решение системы (12) ищем в виде

u(t) = ucos(pt + α)(φ(t)φcos(pt + α).                                                                                       (13)

Подставляя (13) в (12), получаем систему алгебраических уравнений

Похожие материалы

Информация о работе