Устойчивость линейных систем. Критерий Рауса-Гурвица. Коррекция с помощью местной обратной связи, страница 3

          Полезность необходимого условия устойчивости заключается в возможности выявления неустойчивых систем по виду характеристического уравнения: если в уравнении встречаются отрицательные коэффициенты, либо отсутствуют некоторые из них, то соответствующая система является неустойчивой (однако, из положительности всех коэффициентов характеристического уравнения нельзя сделать вывод об устойчивости системы).

          При n≤2 необходимое условие устойчивости является и достаточным, что следует из вида решений характеристических уравнений для систем 1-го и 2-го порядков. Учитывая то обстоятельство, что устройства радиоавтоматики в своем большинстве имеют невысокую размерность, такой критерий устойчивости оказывается весьма полезным.

          Применим необходимое условие устойчивости для характеристического уравнения системы 2-го порядка:  (см. пример разд. 2.1). Из положительности коэффициентов характеристического уравнения Kτ>0 и K>0 получаем известные нам ограничения на параметры устойчивой СУ: K>0, τ>0.

          2. Критерий Рауса-Гурвица.

          При n>2 необходимое условие устойчивости следует дополнить неравенствами, полученными английским математиком Э. Раусом (1877 г.) и немецким математиком, профессором Цурихского университета А. Гурвицем (1895 г.). Заметим, что для случая n=3 такие неравенства были получены русским инженером И.А. Вышнеградским в 1876 г. Результаты Рауса и Гурвица представлены в различной форме, причем в случае n<5 проще использовать результаты Гурвица. Уравнение (2.8) удобно привести к виду:

                       (2.10)

где

          Далее из коэффициентов характеристического уравнения (2.10) составляется матрица:

                                                       (2.11)

          Правило составления матрицы следующее. На главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения (2.10), после чего в каждой строке вправо добавляют коэффициенты с убывающими индексами и влево – возрастающими индексами (если индекс равен нулю – записывают единицу, для отрицательных индексов и индексов, превышающих n, записывают ноль).
          Затем из элементов матрицы (2.11), расположенных симметрично относительно главной диагонали, составляют n определителей Гурвица:

          Формулировка критерия Рауса-Гурвица: для обеспечения устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все n определителей Гурвица были положительны.

Поскольку  и  с учетом необходимого условия устойчивости необходимо вычислять только (n-2) определителя и решать систему неравенств:

 

          В качестве примера рассмотрим систему с ПФ в разомкнутом состоянии

          Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

Из необходимого условия устойчивости следует: T>0, K>0, τ>0. Приводим характеристическое уравнение к виду:

, записываем матрицу:

 и из ее элементов составляем три определителя Гурвица, которые должны быть положительными:

Из условия Δ2>0 находим дополнительное ограничение на параметры системы: τ>T.

          3. Критерий Михайлова.

          Этот критерий предложен русским ученым А.В. Михайловым в 1938 г. Левая часть характеристического уравнения с заменой p на jω:

 называется характеристическим комплексом. Отображение характеристического комплекса на комплексной плоскости в виде годографа называют кривой Михайлова.

          Формулировка критерия Михайлова: для обеспечения устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова начиналась (при ω=0) на положительной части вещественной оси и, с увеличением частоты ω, огибала начало координат, проходя последовательно n квадрантов против часовой стрелки.

          Критерий Михайлова удобен тем, что для проверки устойчивости необязательно строить кривую Михайлова целиком. Достаточно найти точки пересечения вещественной и мнимой осей этой кривой.

          В качестве примера рассмотрим систему с ПФ в разомкнутом состоянии  и характеристическим комплексом: