Ответы на 36 экзаменационных билетов по дисциплине "Алгебра и геометрия"

Страницы работы

Содержание работы

Билет N1

Матрицы и действия над ними

Пусть даны m*n чисел. Расположим их в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Каждое из чисел, входящее в эту таблицу называется элементами матрицы, а сама квадратная таблица называется матрицей порядка m*n.

    Каждому элементу припишем два индекса aij i=N строки, j=N столбца.

     Пусть даны две матрицы A и B порядке m*n. Они равны между собой, если для всех i и j выполняется равенство : aij = bij

     Пусть две матрицы A и B порядка m*n. Под суммой понимается третья матрице C,  элементы которой равны : cij = aij + bij

            A+B=C                        A+B=B+A

     Пусть дана матрица A, то произведение матрицы A на число понимается матрица, элементами которой являются элементы A*α .

     Особую роль играют квадратные матрицы

 - главная диагональ (элементы aii ), -побочная диагональ.       

 Среди квадратных матриц выделяют единичную матрицу :

Пусть дана матрица A порядка m*n. Если у этой матрицы поменять местами строки на столбцы, то полученная матрица называется Транспонированной по отношению к A.(AT)

                        Умножение матриц

Пусть дана A m*n и B n*s. Под произведением A*B понимается С: : cij =Σ ain bnj

A*B=B*A –даже для квадратных матриц.

Билет N2

Определитель- число, полученное из элементов матрицы определенным правилом :

       Если в определителе 3 ого порядка вычеркнуть i-ую строку j-ий столбец, то оставшиеся элементы образуют определитель 2 ого порядка, т е. определитель порядка на 1 меньше исходного.

   ( Mij ) Минором элемента aij - называется определитель, полученный после вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца.

    ( Aij ) Алгебраическим дополнением  элемента aij  называется минор, взятый со знаком (-1)i+j

         Aij= (-1)i+j Mij

     Определителем 3 ого порядка называется число= Σ произведений элементов первой строки на их алгебраическое дополнение.

a11  a12  a13                      

a21  a22  a23      = a11 A11+ a12A12 + a13A13 

a31  a32  a33                      

       Определителем n-ого порядка называется число=Σ произведений элементов первой строки на их алгебраическое дополнение.

                 Свойства определителей

1 Определитель Матрицы A=Определителю A транспонировано. │A│= │AT

│A│= │AT

2 Если в определители поменять местами какие-либо 2 строки(столбца) то определитель изменит знак на противоположный.

3 Если в определителе 2 одинаковых столбца(строки),  то он равен 0.

4 Определитель=Σ произведений элементов любой строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.                                                                                                                                                          

5 Если элементы какой-либо строки(столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя

a11  a12        = K    a11  a12                          

ka21  ka22           ka21  ka22

               

6 Если элементы какой-либо строки(столбца) представляют собой  Σ 2-х чисел, то такой определитель= Σ 2-х определителей.

a11         a12                a11 a12     +     a11 a12                                                                                  

a21+b21  a22+b22            a21  a22         b21  b22

7 Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить элементы Любой другой строки (столбца) умноженное на любое число, то определитель не изменится.

8 Если в определителе под(над) главной диагональю все элементы=0, то такой определитель= произведению элементов, стоящих на главной диагонали :

a11  a12  a13                      

0  a22  a23      = a11 a22 a33

0  0  a33                      

9 Пусть нам дан определитель. Тогда сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) на алгебраическое дополнение любой другой строки(столбца)=0.

Билет N3

                              Системы линейных уравнений

 Системы m линейных уравнений с n неизвестными, называются системы следующего вида :

    Числа b1,b2… bm– свободные члены

Если в (*) все свободные члены=0, то (*)- это однородная, в противном случае неоднородная.

                  5/x1+x2=0 не линейная система

   Решение системы (*)- это всякий упорядоченный набор из n чисел x10,x20 , …, xn0, такой, что при его подстановке в каждое из уравнений системы (*) последнее превращается в тождество

        В дальнейшем мы будем рассматривать линейные системы n-уравнений c n неизвестными

   Oопределитель

             a11  a12 … a1n

                   a21  a22 … a2n

   ∆  =   …………….     – определитель системы (**)

             an1 an2 … ann    

 Th1 (Крамера)     

        Пусть нам дана система (**). Если ∆(**)≠0, то (**) имеет, и при том, единственное решение, даваемое формулами Крамера :

  x1=∆x1/∆     ,x2=∆x2/∆ ,…,xn= ∆xn/∆

     Где ∆xk -определитель для неизвестного xk, которое получается из определителя системы путем замены k-ого столбца свободными членами b1,b2,…,bn

Похожие материалы

Информация о работе