Ортогональные системы кусочно-постоянных функций, страница 2

Первое знакомство с функциями Радемахера и Уолша состоялось в конце гл.4, где речь шла о построении ортогональных систем. Там были введены функции Уолша, упорядоченные по Пэли, при этом функция Уолша, обозначаемая при этом как , где  – номер функции, определялась как произведение функции Радемахера с номерами . Целые числа  есть показатели степени двоичного представления номера функции Уолша , . Таким образом, . Ниже представлены выражения для первых восьми функций Уолша:

; , поскольку  ;

, поскольку ;

, поскольку ;

, поскольку ;

, поскольку;

, поскольку ;

, поскольку.

Матрица, определяющая первые восемь функций Уолша (m = 3), упорядоченных по Пэли, и обозначаемая обычно как  имеет вид

.

Часто более удобным оказывается способ упорядочивания функции Уолша по Адамару, суть которого состоит в следующем. Введем в рассмотрение прямое произведение матрицы  и матрицы , обозначаемое как  и определяемое как блочная матрица вида

.

Например,

.

Запишем матрицу  и с помощью операции прямого произведения получим матрицы

,

и т. д. Матрицы , получаемые по этой схеме, называются матрицами Адамара. Их строки определяют функции Уолша, упорядоченные по Адамару и  обозначаемые как , где  – номер функции, .

Третий из используемых на практике способов упорядочивания функций Уолша называется упорядочивание по секвенте (числу перемен знака или нулей функции Уолша на рассматриваемом интервале). Он очень близок к тому, который был предложен Уолшем, следствием чего является используемое обозначение . Функции, упорядоченные по секвенте могут быть определены с помощью матрицы . Так, матрица  имеет вид:

.

Между номерами функций при различных способах упорядочивания существует взаимно однозначное соответствие. Матрицы, с помощью которых задаются функции Уолша, обладают рядом особенностей, определяющих свойства функций Уолша.

1.  Это ортогональные матрицы (скалярные произведения любых двух строк равно нулю). Матрица  называется ортогональной, если , где  – скаляр. В нашем случае .

2.  Замена -ой строки на -ый столбец не меняет матрицу. Это означает, что если вместо непрерывного времени  рассматривать дискретное – номера двоичных отрезков, то переменные и ,  и ,  и  являются равноправными.

3.  Сумма элементов каждой строки, кроме первой, равна нулю. Это свойство определяет уравновешенность функции Уолша.

4.  Поэлементное произведение любых двух строк дает строку этой матрицы с номером (), где  и  – номера перемножаемых строк, а записанная операция означает суммирование по модулю 2. Это свойство определяет мультипликативность системы функций Уолша.

Система функций  называется мультипликативной, если произведение любых двух функций системы дает функцию системы и для любой функции , функция  также входит в систему.

Хорошо знакомым примером мультипликативной системы является система комплексных экспонент .

Остановимся теперь на вопросах представления функций в базисе (базисах) Уолша. Как уже неоднократно отмечалось, система функций Уолша полна в . Это означает, что для выполняется соотношение:

.

Аналогичные утверждения справедливы и для  и .

Для равномерной сходимости рядов Фурье–Уолша необходимо, чтобы функция  была непрерывна и имела на интервале  ограниченное полное изменение (ограниченную вариацию). Функция  имеет на промежутке   ограниченную вариацию, если при любом разбиении промежутка , и при любом  совокупность сумм вида , отвечающая всевозможным разбиениям промежутка , ограничена.

Точную верхнюю грань  называют полной вариацией функции  на  и обозначают как .

Из самой идеи построения функций Уолша видно, что для получения конечной совокупности функций Уолша необходимо задать m определяющее число двоичных отрезков, на которых задаются значения функций Уолша. Построенная система будет полна на множестве кусочно-постоянных функций, построенной на данной системе отрезков, но не будет полна в .

Пусть представляемая кусочно-постоянная функция  определена своими значениями  на заданных двоичных отрезках, т. е. задан вектор . Тогда выражение для коэффициента Фурье-Уолша (для определенности будем использовать упорядочивание по Адамару) примет вид

,

где  – i-й элемент h-ой строки матрицы .

Таким образом, коэффициент Фурье с точностью до постоянного при данном m множителя  определяется скалярным произведением вектора значений кусочно-постоянной функции  и вектора, определяющего соответствующую функцию Уолша.

Вся совокупность коэффициентов ряда Фурье–Уолша, определяемая вектором , кусочно-постоянной функции  может быть найдена как произведение матрицы Уолша () на вектор , т. е. , где символ «T» означает транспонирование.