Евклидово пространство. Использование неравенства Коши–Буняковского

Как метрика и норма, скалярное произведение для ЛП, заданных над полями R или С, определяется аксиоматически как правило отображения любой упорядоченной пары <, > векторов  и   в множество скаляров из поля R или С, над которыми задано ЛП. Это правило должно удовлетворять следующим условиям:

1.  (, ) – неотрицательное вещественное число, равное нулю только, если  = ;

2.  (, ) = (, )^*, где “*” – знак комплексного сопряжения;

3.  (a, ) =  a (, );(, a) =  a^* (, ), причем второе равенство является следствием аксиомы 2 (доказать самостоятельно);

4.  Для ЛП, заданных над R,скалярное произведение является билинейной формой (функционалом), по обоим аргументам  и  , т. е.

;

,

поскольку для вещественных чисел a^* = a.

Опираясь на сформулированные аксиомы, докажем неравенство Коши–Буняковского, играющее очень важную роль в задачах оптимизации. Дело в том, что представив целевую функцию (или ее часть) в виде скалярного произведения, с помощью неравенства (4.1) можно определить ее верхнюю или нижнюю границу, а (4.2) позволяет определить условия достижения этой границы.

Запишем очевидное неравенство, справедливое для любых векторов  и   и значений скаляра l: ( + l,  + l) ³ 0. Раскрывая его, получим:

(,) + l(, ) + l^*(, ) + |l|² (,) ³ 0.

Поскольку это неравенство справедливо при любых l, то полагая , после подстановки и преобразований на основе аксиомы 2, получим:

(,) – 2 +  ³ 0,

откуда следует |(, )|² £ (,)(,).

В соответствии с аксиомой 1 знак равенства достигается, если
 + l = , откуда и следует условие (4.2)  = a, где a = – l.

Приведем классический для радиотехники пример использования неравенства Коши–Буняковского. Пусть на вход некоторого фильтра с постоянными параметрами, комплексный коэффициент передачи которого K(jw) надо определить, подается стационарный случайный процесс со спектральной плотностью мощности S(w)  и сигнал s(t), который полностью известен. Его спектр равен . Необходимо выбором фильтра, т. е. подбором  K(jw), обеспечить в момент времени t₀ максимум отношения сигнал/шум, понимая под ним

,

где  – дисперсия помехи на выходе фильтра. Будем также предполагать, что спектральная плотность мощности отлична от нуля на всей частотной оси, т. е. S(w) > 0.

Пользуясь известными правилами анализа линейных цепей в частотной области [7], можно записать:

.

Представим интеграл, стоящий в числителе, в виде скалярного произведения двух функций:  и . Использование записи  является корректным, поскольку . Нетрудно заметить, что . Применяя неравенство Коши–Буняковского, получим

.

Максимально достижимое значение q(t₀) получим при , где с – скаляр. Таким образом,

 или .

Константу с, обеспечивающую отсутствие размерности (K(jw) – безразмерный коэффициент, а размерность  и S(w) есть В/Гц и В²/Гц соответственно) и не влияющую на величину q(t₀), выбирают равной единице.

Если  (помеху с такой  спектральной плотностью мощности называют белым шумом), то

.

Как будет показано в гл.5,

,

где Е – энергия сигнала s(t). Таким образом, максимально достижимое отношение сигнал/шум для сигнала s(t) и помехи типа белый шум определяется выражением

.

Частотная характеристика фильтра, реализующего данный максимум и называемого согласованным, имеет вид .

В евклидовых пространствах норму и метрику согласовывают с введенным скалярным произведением, полагая

||||² = (,);  r(, ) = (–, –).

После этого полученное нами неравенство Коши–Буняковского примет окончательный вид (4.1) с условием (4.2).

Два вектора  и  называются ортогональными, ^, если (, ) = 0. Ненулевая совокупность векторов  называется ортогональной системой, если для любой пары векторов этой системы скалярное произведение равно нулю, т. е.  при l ¹ m. Если квадрат нормы каждого вектора ортогональной системы равен единице, то система называется ортонормальной. Ортогональная система будет в дальнейшем обозначаться как . Для ортогональной  системы векторов  справедливо равенство , которое можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора, считая  катетами, а   – гипотенузой. Так как ||||² = (,) = 0, то с помощью неравенства Коши–Буняковского можно установить следующий полезный факт. Если (, ) = 0 при любом ненулевом векторе , то  = . Доказать это утверждение предоставляется читателю.

Также в качестве упражнения предлагается доказать, что любая ортогональная система ненулевых векторов является линейно независимой.

Скалярное произведение дает возможность определять координаты вектора  = (х₁, х₂, …, х_п) относительно произвольного базиса , k = 1, 2, …, п.

Записывая представление вектора  через базисные вектора,  = =, и последовательно скалярно умножая обе части этого равенства на базисные вектора , l = 1, 2, …, п, получим для определения координат х_k линейную систему уравнений 

( ,  ) = ,  l = 1, 2, …, п.