Анализ переходных процессов в разветвленных цепях 1 порядка. Свободный процесс в последовательном RLC-контуре. Метод переменных состояния для анализа переходных процессов в цепях высокого порядка и его преимущества, страница 2

Процесс в цепи зависит от значений корней хар-кого Ур-я.

Критический режим

α = ω   R=2*(L/C)^1/2 ;p1=p2=- α  кратные корни

i(t)=0/0 при ωd=0;   i(t)=lim (Uco*e^(-α*t)*t*cos(ωd*t))/L=

=(Uco*t*e ^(-α*t))/L

i(t)= (Uco*t*e ^(-α*t))/L=0;  tmax=1/ α 

Imax=Uco*e^(-1)/L* α=0,736Uco/R

27 Свободный процесс в идеальном LC-контуре.

i(t)=Uco*sin(ω*t)/(L*ω)

Найдем U чтобы найти энергию

(S-интеграл от 0 до t)

Uc(t)=-Uco+1/C*Si(t)dt=-Uco+1/C SUco/(C*ω)  * sin(ω*t)dt=

-Uco*cos(ωt)

WL(t)=(L*i^2)/2=(C*Uco^2*sin(ωt)^2)/2

Wc(t)= (C*Uco^2*cos(ωt)^2)/2; WL(t)+ Wc(t)=const

В этом случае процесс в LC-контуре представляет собой обмен энергии

Между L и C элементами, при этом суммарная энергия остаётся постоянной и

Равной начальному запасу энергии в С – элементе. Энергия не расходуется.

Колебательный процесс вечен.

p1,2=-α*j(ω^2- α^2)^1/2 в RLC;  p1,2=±j* ω-корни чисто мнимые.

28 Анализ переходных процессов в разветвленных цепях 2 порядка.

Переходных процессов в разветвленных цепях n-порядка описывается

системой интегро-диф ур-й. Нельзя избежать процедуры состовления

этой системы, т.к. нельзя опред. корни хар-го ур-я прямо по цепи.

i1,i2,i3-?

1)Опр. независ. нач условия Uc(0-)-?,i3(0-)=iL(0-)-?

t<0 докаммутационный установившийся режим.

i3(0-)=Uo/(R1+R2);  Uc(0-)=i3(o-)*R2=Uo*R2/(R1+R2);

2)Формирование системы уровнений и её

преобразование к одному диф ур-ю относительно

 одной из неизвестных.

Система: R1*i1+1/C S i2*dt=Uo

L*di3/dt-1/C Si2*dt=0

i1-i2-i3=0   (S-интеграл)

Для сведения к одному уравнению: метод алгебраизации интегро-диф

ур-й  di/dt=Di; Sidt=i/D; Система ур-й в алгебраизоанном виде 

Система R1*i1+i2/(D*C)=Uo

-i2/(D*C)+D*L*i3=0

i1-i2-i3=0

i1=Δ1/Δ  (далее вычисляются эти определители по этой системе)

 Δ=(R1*L*C*D^2+L*D+R1)/(D*C); Δ1=(Uo*L*C*D^2+Uo)/(D*C);

i1(t)* (R1*L*C*D^2+L*D+R1)/(D*C)= (Uo*L*C*D^2+Uo)/(D*C);

R1*L*C*d^2i1/dt^2+L*di1/dt+R1*i1=Uo

Решение диф ур-а; i1(t)=i1вын+i1св; Опр i1вын;

а) Из диф-ура в форме правой части

i1вын=const, т.к. Uo=const; 0+0+R1*i1вын=Uo  iвын=Uo/R1

б) i1вын= i1уст, т.к. воздействие постоянное в цепи в установившемся режиме.

i1уст= Uo/R1

Определение свободной состовляющей. Хар-е ур-е R1*L*C*p^2+L*p+R1=0

Возможно 2 случая: 1)p1=α1, p2=α2, i1св=A1*e^(- α1*t)+ A2*e^(- α2*t)

2) p1=- α+j*ωd, p2= -α+=-j*ωd; i1св=B1*e^(- α1*t)*sin(ωd*t)+ B2*e^(- α2*t)*cos(ωd*t)

3)p1=p2=-β ; i1св=D1*e^(- β *t)+ D2*t*e^(- β *t)

Для определения 2-х неизвестных постоянных интегрирования нужно найти i1(0+),i`1(0+)

i1(0+)=(Uo-Uc(0+))/R1;  R1*i1(t)+Uc(t)=Uo; R1*di1/dt+dUc/dt=0;

di1/dt=-1/R1*dUc/dt; i2=C*dUc/dt; dUc/dt=i2/C;

 di1/dt=i1`(t)=-i2(t)/R1*C;i1`(0+)=-i2(0+)/R1*C; i2(0+)=i1(0+)-i3(0+);

Для веществ. корней.  i1(t)=Uo/R1+A1*e^( -α1*t)+ A2*e^( -α2*t)

i1(0+)=Uo/R1+A1+A2;  di1/dt=- α1 A1*e^( -α1*t)- α2 A2*e^( -α2*t)

i1`(0+)=- α1 A1- α2 A2; система A1+A2=i1(0+)-Uo/R1;  - α1 A1- α2 A2= i1`(0+);

29 Метод переменных состояния для анализа переходных процессов

 в цепях высокого порядка и его преимущества.

Главным преимуществом МПС является отсутствие необходимости нахождения

 n-1 производных при t=0.Число переменных состояния – это мин число для полного

 анализа.Ур-ми переменных состояния являются: Ур-я 1 порядка, слева записывается

 1-я производная от переменной состояния, справа- ф-я от переменных состояния и

воздействующих источников. В электротехнике за переменные состояния принимают

 токи индуктивности и напряжения ёмкостей.

 i1,i2,i3-?

1)Опр независ нач усл: Uc(0-)-?, i1(0-)-? t<0 i1(0-)=Uo/R1 

Uc(0-)=0

2) Формирование ур-й состояния t>0; i1(t) и Uc(t)- переменные

состояния.

UL-?, ic=i3-?

UL+R1*i1+Uc-Uo=0; UL=-R1*i1-Uc+Uo

di1/dt=-R1*i1/L-Uc/L+Uo/L; i1-i2-i3+Io=0; i2=Uc/R2;

 i3=i1-Uc/R2+Io;dUc/dt=i1/c-Uc/(R2*C)+Io/c;

3)Решение Ур-е состояний. i1(t)=i1вын+i1св; Uc(t)=Ucвын+Ucсв

Опр вын состовляющей; t->бесконечн.

а)из ур-й состояния   Uсвын=const, i1=const;

система: 0=-R1*i1/L-Uc/L+Uo/L; 0=i1/c-Uc/(R2*C)+Io/c

из этой системы найдём вынужденную состовляющую.

4)система: Di1=-R1*i1/L-Uc/L+Uo/L; DUc=i1/C-Uc/(R2*C)+Io/C

Система: (D+R1/L)*i1+Uc/L=Uo/L; -i1/c +(D+1/R2*C)*Uc=Io/C;

ΔD=0(D=p);  (p+R1/L)(p+1/(R2*C))+1/L*C=0;

p^2+(R1/L + 1/(R2*C))*p+(1/(L*C)+R1/R2*L*C)=0

(все коэффициенты положительные) Отсюда p1 и p2

i1=i1вын+A1*e^(p1*t)+A2* e^(p2*t );Uc=Ucвын+ A3*e^(p1*t)+A4* e^(p2*t)

p1!=p2; Определим A1и А2; i1(0+)= i1вын+A1+A2;

  di/dt= p1*A1*e^(p1*t)+p2*A2* e^(p2*t );

i1`(0+)=p1*A1+p2*A2; i(0+)=i(0-); i1`(0+)=-R1*i1(0+)/L – Uc(0+)/L+Uo/L;

A3 и А4 аналогично.