Практикум "Математические модели в экономике": семинары и домашние задания, страница 7

Задача 49

а)

Ну и от сюда, можно сделать некоторые умозаключенияJ по различным соотношениям между полезностью и переменными в задаче.

б) Если μ – доля скрываемого дохода, и ее можно изменять, как это отразится на целевой функции? Очевидно, это отразится на его доходе, который он показываетJ, одновременно, перепишем и условие:

K-(1-μ)R<0, тогда с вероятностью α факт сокрытия обнаружат, и индивид платит налог T(K)+F(R-K) и штраф. Чтоб не обнаружили – K=(1-μ)R. Больше – делать экономически не эффективно, но мы и рассматриваем, рационального агента.

Поэтому задача перепишется:

в) В общем случае ,такую задаче решить мне не под силу J Пусть, например, для значительного облегчения расчетов функция предпочтений задана квазилинейной функцией – U=a₁x₁+a₂lnx₂

Оптимальный спрос:

Поскольку

Где

Требуется узнать, какую долю своего дохода индивиду оптимальнее показывать J

Для этого надо продифференцировать (*) по μ. Но от μ зависит только R`, поэтому:

достижение максимально располагаемого дохода не зависит от выбора μ.

г) Определим величину скрываемого дохода исходя из функции полезности (при скрываемом доходе):

Подставляя последнее выражение в  и дифференцируя по μ, получим, что . Видно ,что при росте дохода, доля скрываемого дохода сокращается. ЧТД.

1.2.1.3. Предложение труда в модели поведения потребителя

Задача 52

U(x,h)=x(h+2)

X – блага, l – работа. Q=16, R=20, p_x=25, p_h=10.

а) 25x=(10(16-h)+20)(1-t)

б)25x=10(16-h)(1-t)+20

в) 25x(1+t)=10(16-h)+20

г)25x=10(16-h₁-h₂)+20

Ответы:

а) h=8; x=4(1-t)

б) h=7+1/(1-t); x=2/5*(9+(1/(1-t))(1-t))

в) h=8; x=4/(1+t)

г) h=8; x=50/13

Эффект Лаффера:

а) T=100t (нет)

б) T=(80t-90t²)/(1-t) (есть)

в) T=100t/(1+t) (нет)

Задача 53

Очевидно, решение – угловое:

Задача 54

U(x,h)=x²

l+h=7*16=112

w=4

l=60, h=52, p=100

а)Бюджетное ограничение: 100x≤4l-(4l-150)t, l=112-h

100x+4(1-t)h≤448-298t

h=(448-298t)/(12(1-t))

б) если l≤60 à h≥52 à (448-298t)/(12(1-t))≥52àt0.54

в) T=(298-4h)t=(298-(448-298t)/(3(1-t)))t=…=(446t-596t²)/3(1-t)

Берем производную по T, приравниваем к нулю, два корня, один – больше единицы – не подходит, другой – 0.49≈0.5

Эффект Лаффера есть.

1.2.1.4. Межвременной выбор

Задача 56

(1+r)p₁x₁+p₂x₂/(1+r)=R₁+R₂/(1+r)   |*(1+r)

Задача 58

U(X)=a₁lnx₁+a₂lnx₂

S=R₁-p₁x₁

p₂x₂=R₂+(1+r)S

p₂x₂=R₂+(1+r)(R₁-p₁x₁)

(1+r)p₁x₁+p₂x₂≤(1+r)R₁+R₂

Задача 59

Следует рассмотреть два случая. Первый – не учитывать его ожидания à он не сохраняет, помимо S, некоторую долю, в расчете на то, что станет безработным и сохраняет. Пусть эта доля – β.

Рассмотрим второй вариант.

Если он станет безработным с вероятностью 1, то будет жить за счет сделанных сбережений.

При первом варианте, то есть когда он уверен, что не станет безработным и бичего не сберегает, однако если на самом деле он стал безработным ,есть ему нечего будет. L

1.2.1.5. Элементы теории общего равновесия

Задача 62

 

Задача 63

товар Гиффена. ЧТД.

Задача 64

Так как функции полезности линейны, то оптимальное решение – га осях, в зависимости от наклона бюджетного ограничения:

Задача 65

Задача 66

Задача 67

Избыточный спрос в равновесии равен нулю, откуда:

p₂=3, p₁=4; x₁=E₁+1, x₂=2

4x₁+3x₂+3x₃=10

Избыточный спрос для x₃:

x₃=13-4x₁-3x₂ 

x₄=-p₁+p₂+2

x₃=p₁+2p₂-7

Производная x₃ по первой цене =1 и по второй цене = 2, тоже больше нуля, поэтому товары взаимодополняемые.

Задача 68

а) б)