Модели динамики общественного продукта и национального дохода, страница 2

Ниже анализируется ряд модификаций модели воспроизводства национального дохода, построенных на основе (10.4).

Простейшая модель. Наиболее простая модель воспроизводства национального дохода формулируется при использовании двух допущений: а) пропорциональности производственного накопления прироста национального дохода в тот же момент времени; б) независимости (экзогенности) динамики потребления:

              (10.5)

Таким образом, простейшая модель воспроизводства национального дохода выражается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Коэффициент В — капиталоемкость национального дохода (отношение производственного накопления к приросту национального дохода) ; этот коэффициент называют также акселератором[2].B=bA, где B— капиталоемкость валового общественного продукта[3]. В последующих числовых иллюстрациях принимается а = 0,6, b — 1,4, откуда В = = 3,5.

В соответствии с (10.5) при заданном параметре В динамика национального дохода определяется траекторией c(t). Проанализируем поведение решения при разных гипотезах о динамике потребления.

1. с (t) = 0. Гипотеза, что весь национальный доход направляется на расширение производства и потребление отсутствует, разумеется, нереалистична. Но она позволяет оценить максимально возможный темп увеличения национального дохода, ограниченный только материалоемкостью и капиталоемкостью производства. При с(t) = 0 в соответствии с теорией дифференциальных уравнений имеем

         (10.6)

Величину  — будем называть технологическим темпом прироста.

Приняв В = 3,5, получаем  — 0,286; это соответствует постоянному ежегодному приросту на 33,1 %. При таком темпе удвоение национального дохода достигается за 2,4 года, утроение - за 3,8 года.

Рассматривая значение коэффициента капиталоемкости национального дохода как функцию времени В = B(t), получаем

где

С возрастанием B(t) технологический темп убывает, а с уменьшением B(t) - увеличивается[4].

2. c(t) = с(0) = const. Общее решение уравнения (10.5) представим в виде

При t= 0 имеем или .

Отсюда

                    (10.7)

Очевидно, у(t) > 0, если y(0)> с(0), т.е. в начальный момент потребляется не весь национальный доход. Тогда в соответствии с (10.7) национальный доход растет возрастающим темпом, поскольку в объеме y(t) непрерывно увеличивается "вес" слагаемого

В начале периода (при t= 0) темп прироста составляет

.

В пределе (при t® ¥ ) он увеличивается до.

Например, если y(0) = 600 млрд. руб., с(0) = 480 млрд. руб., В = 3,5, то за первый год прирост составит 6,62%, за пятый - 14,57, за десятый - 25,37%. За 10 лет при таких темпах национальный доход увеличился бы в 4,92 раза, а доля потребления уменьшилась бы с 0,8 до 0,186.

3.. Это означает, что потребление увеличивается с непрерывным темпом прироста г. Общее решение имеет вид

Из него при t = 0 находим

.

Таким образом,

                  (10.8)

Экономически приемлемые траектории изменения национального дохода получаются только в том случае, когда заданный темп прироста потребления меньше технологического темпа прироста национального дохода: . В противном случае (при ) доля накоплений быстро падает, а вместе с ней уменьшается и темп прироста национального дохода. Далее, в некоторой точке темп становится равным нулю, а в точке  объем национального дохода становится равным нулю (подробнее см. в ДМНХ, с. 50 — 51). Поэтому принимаем , откуда .

Траектория изменения национального дохода в этом случае зависит от знака коэффициента первого слагаемого в (10.8). Преобразуем этот коэффициент следующим образом:

Обозначим

.

Величина