Математический анализ модели межотраслевого баланса, страница 4

Таким образом, между коэффициентами матриц С = (с_ij) и В =(Е — A)^-l=(b_ij) имеется качественное и количественное соответствие. При выводе формул для c_ij суммировались все материальные затраты, прямо и косвенно связанные с выпуском единицы продукции j. При этом получение единицы продукции j рассматривалось как конечная цель всего общественного производства, но эта единица продукции не включалась в затраты. Коэффициент же b_ijпозволяет ответить на вопрос: каковы полные потребности в продукции i, необходимые для получения продукции вида j. Он включает полные производственные затраты с_ij и саму единицу конечной продукции (если i = j), которую также нужно произвести, но которая не является затратами производства в узком смысле: b_ij = c_ij+ δ_ij. Экономическое различие между коэффициентами c_ij и δ_ij заключается в том, что первые отражают структурные взаимосвязи промежуточного и конечного продукта, а вторые — структурные взаимосвязи валового и конечного продукта.

Коэффициенты потребностей в ресурсах для получения единицы конечной продукции в точности совпадают с коэффициентами полных затрат ресурсов на производство единицы продукции. При этом коэффициенты прямых и полных затрат ресурсов обладают важным свойством: сумма прямых затрат на производство валового общественного продукта равна сумме полных затрат, отнесенных на конечную продукцию:

                          (6.41)

Существование решений модели межотраслевого баланса. Сформулируем две основные теоремы для модели межотраслевых материально-вещественных связей и модели межотраслевых зависимостей цен.

1.  Если матрица А продуктивна, то для любого полуположительного вектора Y≥ 0 система (Е - А)Х = Y имеет единственное полуположительное решение X> 0. Иными словами, каждому вектору конечной продукции (Y≥> 0) соответствует только один вектор объемов производства (X≥. 0). Для неразложимой матрицы А любому Y≥0 соответствует единственный строго положительный X > 0.

2.  Если матрица А продуктивна, то для любого полуположительного вектора чистой (условно чистой) продукции r≥ 0 существует единственный полуположительный вектор цен Р≥0. Иначе говоря, если взять любой вектор чистой (условно чистой) продукции (r ≥ 0), то ему соответствует только одна система цен (Р ≥ 0). При условии неразложимости А любому r≥ 0 соответствует единственный строго положительный Р ≥ 0 (геометрическое истолкование условий существования решений уравнений межотраслевых связей см. в ММСЭ, с. 275 — 216).

Покажем, что для существования единственного X≥ 0 при любом Y≥ 0 необходимо и достаточно, чтобы В = (Е - А}^-1≥0 (заметам, что в этой матрице строго положительными являются хотя бы диагональные элементы).

Достаточность принятого условия очевидна. При b_ij≥ 0 и y_j≥0, i, jÎI (и хотя бы один из элементов у_iи один из элементов b_ijположительны), все произведения b_ijy_jнеотрицательны и хотя бы одно произведение строго положительно, например: b_kky_kпри у_k>0. Поэтому, i ÎI и хотя бы одна х_i> 0.

Необходимость принятого условия обнаруживается при следующем рассуждении. Если хотя бы один элемент b_lk< 0, то найдется такой вектор Y≥ 0, в котором только k-я компонента положительна, а остальные — нулевые. Тогда получится х_l = b_lky_k < 0.

Обычно свойства модели межотраслевого баланса анализируются в предположении, что Y>0. Известно, однако, что отдельные компоненты вектора конечной продукции могут принимать отрицательные значения, например, по импортируемой продукции. Это ни в коей мере не является признаком непродуктивности системы межотраслевых связей. Свойства, доказанные в предположении Y> 0, нужно понимать так, что в продуктивной системе всегда могут быть получены наборы конечной продукции, не имеющие отрицательных компонент (например, если народное хозяйство откажется от импорта).

Вместе с тем отрицательные значения отдельных элементов конечной продукции не могут быть чрезмерно большими по абсолютной величине. Если, например, величины одной группы конечной продукции (r) неотрицательны, а величины другой группы конечной продукции (s) отрицательны, то должны выполняться условия

, iÎJ

Аналогично доказательство существования решений уравнений цен  P(Е-А)= r, опирающееся на условие (Е –A)^-1≥ 0.