Четырёхполюсники, реализованные на простейших пассивных и активных RC-цепях. Дифференцирующие и интегрирующие цепи

Лекция 10. Четырёхполюсники, реализованные на простейших пассивных и активных RC – цепях, - дифференцирующие и интегрирующие цепи

10.1. Передаточные функции и частотные характеристики четырехполюсников

Четырёхполюсники, у которых выходное напряжение представляет собой производную (интеграл) напряжения на входе, называются дифференцирующими (интегрирующими) цепями. Основное назначение этих цепей – формирование электрических сигналов.

Дифференцирующие цепи позволяют производить следующие преобразования:

· получение производной по времени от сложных функций в вычислительных машинах, измерительной аппаратуре, системах авторегулирования;

· формирование остроконечных импульсов, служащих для запуска и синхронизации устройств импульсной техники;

· укорочение длительности импульсов;

· формирование прямоугольных импульсов из пилообразных.

Интегрирующие цепи позволяют производить следующие преобразования:

· получение интеграла по времени от сложных функций в измерительных схемах, системах авторегулирования;

· формирование импульсов, изменяющихся по линейному закону;

· увеличение времени импульсов.

Анализ общих свойств дифференцирующих и интегрирующих цепей, удобно проводить, используя аппарат передаточных функций и частотных характеристик, который позволяет установить функциональную связь выходной и входной величинами цепи.

Передаточной функцией четырехполюсника называется отношение операторных изображений выходной  и входной  величин

.

При заданной схеме соединений элементов четырехполюсника передаточная функция определяется в результате расчета операторной схемы замещения цепи при нулевых начальных условиях. Если функция  и  удовлетворяют требованиям, при которых возможно преобразование Фурье, то, заменив = в выражении передаточной функции, получим частотную передаточную функцию четырехполюсника

.

Функция , построенная на комплексной плоскости, называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ) четырехполюсника и позволяет наглядно представить для каждой частоты входного сигнала отношение амплитуд выходной и входной величин, а также сдвиг фаз между ними. Модуль КЧХ -  называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) четырехполюсника, а аргумент  называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

10.2. Частотные характеристики пассивных дифференцирующих и интегрирующих цепей

Простейшие пассивные дифференцирующие цепи приведены на рис. 10.1. В соответствии с эквивалентными операторными схемами цепей при нулевых начальных условиях, находим

,

где - постоянная времени цепи ( - для цепи рис. 10.1,а и - для цепи рис. 10.1,б).

 

а)                                                                           б)

Рис. 10.1

Передаточная функция цепей

,

а амплитудно-фазовая частотная характеристика

.

Таким образом, АЧХ и ФЧХ реального дифференцирующего четырехполюсника определяются:

;          .

При условии wt<<1 амплитудно-фазовая частотная характеристика соответствует идеальному дифференцирующему четырёхполюснику, для которого  , и соответственно АЧХ и ФЧХ идеального дифференцирующего четырехполюсника:

; .

Передаточная функция цепи в этом случае

, т.е.

или, переходя к оригиналам,

.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ)

и фазовая характеристика  идеального дифференцирующего четырехполюсника показана на рис. 10.2. Здесь указан наклон ЛАЧХ (20 ) и частота среза - , при которой модуль характеристики .

 

Рис. 10.2

Амплитудная частотная характеристика реального дифференцирующего четырехполюсника  отличается от характеристики идеального дифференцирующего четырехполюсника . Точность дифференцирования можно оценить величиной относительного отклонения характеристик  и

.

Отклонение d связано с  отклонением логарифмических амплитудных характеристик  соотношением

.

Выражение d показывает, что с помощью простейших rC - и rL - цепей высокая точность воспроизведения производной  может быть получена только в области сравнительно низких частот и малых постоянных времени цепи t, для которых wt<<1.

Попытка расширить диапазон частот качественного дифференцирования за счет снижения постоянной времени цепи приводит к существенному снижению выходного напряжения . В области низких частот

.

В случае если постоянная времени цепи  задана или определена по известным параметрам схемы, то при заданной точности дифференцирования  и допустимом снижении выходного напряжения  диапазон частот  качественного дифференцирования должен удовлетворять двум условиям:

;              .

При выборе параметров четырехполюсника также необходимо учесть ограничение по мощности источника сигнала . Полная мощность источника  для цепи rC может быть определена по соотношению

.

Для рассматриваемого диапазона частот  S имеет наибольшее значение при частоте . При ограничении мощности источника сигнала на уровне допустимого значения  величина действующего значения источника сигнала  

.

В случае цепи rL полная мощность источника определяется соотношением

и имеет наибольшее значение для частоты .

При ограничении  на уровне допустимого значения  величина действующего значения напряжения

.