Определение выражения напряжения резистора в схеме RL-цепи первого порядка после коммутации, страница 2

 В.

Свернём выражение принуждённой составляющей напряжения резистора u5(t):

= 63.2sin(wt + 0.846) В.

Следовательно,

u5(t) = 63.2sin(wt + 0.846) + 11.8 e2000t В.

Примечание: Искомое выражение напряжения резистора u5(t) при t ³ 0 также можно представить разложением

,

Выражение принуждённой составляющей напряжения u5(t) проще было найти ещё на первом этапе анализа переходного процесса по схеме Рис. 6.4:

= 41.94 + j47.34 = 63.25 e j0.846 В.

a)

b

Рис. 6.5

u5пр(t) = 63.2sin(wt + 0.846) В.

Выражение же свободной составляющей напряжения u5(t) можно определить на втором этапе из анализа схемы замещения цепи, “освобождённой” от источника тока iк(t) * (Рис. 6.5):

 В.

Зависимости напряжения u5(t) и его компонентов на интервале времени 0 £ t £ 2 мс с шагом 0.25 мс представлены таблицей; Рис. 6.6 отображает их на интервале 0 £ t £ 5 мс.

Таблица

t, мс

0.0

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

u5пр(t), В

47.3

56.2

61.6

63.2

60.8

54.7

45.1

32.8

18.4

u5св(t), В

11.8

7.2

4.3

2.6

1.6

1.0

0.6

0.4

0.2

u5(t),   В

59.1

63.4

65.9

65.8

62.4

55.7

45.7

33.2

18.6

Примечание. В RL-цепях после коммутации с гармоническими задающими напряжениями или/и токами часто предпочтительнее сразу вычислять выражение искомой величины, не определяя предварительно выражение переменной состояния цепи. В таких случаях стартовое значение искомой величины находится из схемы цепи при t = 0+, в которой катушка заменяется источником стартового значения её тока.

Численное решение этой задачи осуществляется также в указанные два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи в виде

Рис. 6.6

,

в котором

        a = – 2000 с-1,     b = 1000 См/с.

Численное решение уравнения для переменной состояния цепи i4(t) при 0 £ t£ 5 мс найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 7 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для этого задаём последовательно:

                                – стартовое значение переменной состояния цепи i4(0+);

             –  выражение её первой производной;

   – вычисление значений переменной состояния цепи i4(t) в пятистах точках (500) интервала времени [0,0.005] с;

                       – номера точек разбиения интервала времени пробегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

                                        – элементам вектора t присваивают значения элементов первого столбца матрицы Z.

                                       – элементам вектора i4 присваивают значения элементов второго столбца матрицы Z.

Выражение искомой зависимой переменной u5(t) есть линейная функция переменной состояния i4(t) и задающего тока iк(t):

 В,

где                   с = – R5 = – 100 Ом,              d = R5 = 100 Ом.

Соответствующее выражение в протоколе MathCad 7 Pro выглядит так:

Результаты численного и аналитического исследования переходного процесса в рассматриваемой цепи полностью совпадают, по крайней мере до трёх цифр после запятой мантиссы мгновенных значений напряжения u5(t).

C:\ОТЦиС\Упражнения\Тема_6a\Примеры_6a\Пример 4



* Любой элемент с известным значением тока может быть эквивалентно заменён источником тока известного значения.

* При iк(t) = 0 источник тока эквивалентен разъёму.