Спектры сигналов. Разностные уравнения. Дискретное преобразование Лапласа. Теорема сдвига. Теорема об изображении разностей. Вариационное исчисление, вариация и её свойства, страница 2

поскольку при данном n, то можно вынести за знак интеграла

по теореме смещения и по «выхватывающему» свойству d - функции

преобразование по Лапласу всей последовательности выходных импульсов модулятора будет равно сумме изображений элементарных импульсов

или, поскольку

полученное выражение, являющееся изображением Лапласа решетчатой функции (функция дискретного аргумента) f[nT] называется дискретным преобразованием Лапласа. Обычно символами дискретного преобразования Лапласа функции f[nT] принимают (3)

Обычное преобразование Лапласа имеет вид

Заменив в уравнении (3) p на jw получим дискретное преобразование Фурье

Для случая, когда в качестве аргумента непрерывной функции берут относительное время t=t/T, выражение Д – преобразования имеет вид

где q=pT=s+jwT=s+jv - комплексное число называемое параметром дискретного преобразования Лапласа; v=цЕ- относительная частота импульсов, w₀=2p/T –частота импульсов с периодом 2p.

Дискретное преобразование для смещенных решетчатых функций

(4)

по аналогии  с непрерывным преобразованием Лапласа  f[n,e] называется оригиналом, а - изображением. Соответствие между оригиналом и изображением решетчатой функции условно записывают в виде

изображение существует если ряды  (4) сходятся.

Основные теоремы и правила

Д – преобразования.

1.  Теорема линейности.

Пусть дана решетчатая функция f[n], представляющая линейную комбинацию решетчатых функций:

очевидно, что

или

т.е. изображение линейной комбинации решетчатых функций равно линейной комбинации их изображений.

2.  Теорема сдвига.

Пусть . Найдем изображение смещенной решетчатой функции f[n+k], где К – целое положительное число.

если n+k=r, тогда

результат суммирования не зависит от обозначения переменной суммирования, поэтому

В частном случае, когда f[0]=f[1]=…=f[k-1]=0,

Получим

Аналогично можно показать, что изображение решетчатой функции f[n-k] имеет вид

в частности, если f[-1]=f[-2]=..=f[-k]=0, что эквивалентно f[n-k]º0 при  n<k, получим

3.  Теорема смещения.

Дискретные преобразования для решетчатой функции имеют вид

4.  теорема об изображении разностей. 

Первую разность решетчатой функциинаходят по формуле:

применив теоремы линейности и сдвига, получим

.

Для второй разности решетчатой функции

 получим

(1)

где следует считать

выражение можно использовать для определения изображений решетчатой функции, решив его относительно F^*(q):

5.  теорема об изображении суммы.

 Для суммы решетчатой функции изображение определяют по формуле:

т.к. ∆F[n]=f[n] и по теореме об изображении разности получим

откуда, учитывая, что F[0]=0,

если суммирование производится К – раз, то изображение решетчатой функции, стоящей под знаком К- кратной суммы, следует поделить на (e^q-1)^k.

6.  Теорема об умножении изображений (теорема свертывания в вещественной области).

Пусть имеются две решетчатые функции f[n] и f[r], которым соответствуют изображения

.

Сверткой функций f₁[n] и f₂[r] является сумма

Тогда

т.е. операции свертывания решетчатых функций соответствует простое перемножение изображений.

7.  Теорема о начальном значении оригинала решетчатой функции.

Как известно первая разность есть , а ее изображение, согласно теореме об изображениях разностей, определяют по формуле

или

откуда

Приняв во внимание, что

получим

Аналогично, .

Т.о, начальное значение решетчатой функции равно ее дискретному изображению при .

8.  Теорема о конечном значении оригинала решетчатой функции.

Согласно теореме об изображениях разностей имеем

устремляя , получим

 (1)

с другой стороны, по определению дискретного преобразования Лапласа

для случая, когда , можем записать

   (2)

Приравняв выражения (1) и (2), находим

Аналогично,

9.  Теорема о дифференцировании изображения дискретного преобразования Лапласа.

Дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала решетчатой функции на –n:

  (1)

Действительно, т.к.

продифференцировав по q, приходим к формуле (1)

Повторное дифференцирование приводит к общей формуле

 (2)

применяя к (2) к изображению для , последовательно получим

Более простой вид имеют изображения для последовательностей, определяемых биноминальными коэффициентами

Общая формула имеет вид

5.  Преобразование Лапласа. Основные теоремы(свойства)

Преобразование Лапласа  нашло широкое применение в ТАУ, где с его помощью производится анализ переходных и установившихся процессов в автоматических системах. Все динамические процессы описываются диф. уравнениями, которые легко решаются с помощью преобразований Лапласа. Исходная функция в преобразовании Л наз оригиналом, а преобразованная по Л – изображением. Преобразование Л позволяет более сложные операции с функциями заменить более простыми операциями с преобразованием Л.