Программирование СУ в переменных состояния. Прямое программирование. Пояснения по матрицам A, B, C, D в MATLAB

Страницы работы

Содержание работы

Лекция 3.

1. Программирование СУ в переменных состояния.

2. Прямое программирование.

3. Последовательное программирование.

4. Параллельное программирование.

5. Пример программирования.

6. Наблюдаемость и управляемость в СУ.

7. Пояснения по матрицам  A, B, C, D в MATLAB.

Для определения переменных состояния часто используют схему системы в этих переменных .

Она составляется из интеграторов, усилителей, суммирующих устройств. Выходы интеграторов выбирают в качестве координат (переменных) состояния. Такая схема дает наглядную физическую интерпретацию координат системы и описывает их взаимную связь.

Схемы в переменных состояния для непрерывных СУ

Они совпадают со схемами моделирования этих систем на АВМ. Схема СУ в переменных состояния может быть составлена по ПФ тремя способами:

1) прямого программирования,

2) параллельного программирования,

3) последовательного программирования.

Рассмотрим систему с ПФ:

                                                (3.13)

1. Прямое программирование. Разделив (3.13) на s3 , запишем

Обозначая

                                                    (3.14)

получим

На основе уравнений (3.14) и (3.15) схема в переменных состояния для заданной системы будет иметь следующий вид:

Полученные уравнения состояния и выхода можно расписать более полно:

Тогда согласно схеме и уравнениям

   

2. Параллельное программирование. Запишем ПФ (3.13) в виде суммы дробнорациональных функций:

                                                                                  (3.16)

Схема системы в переменных состояния вытекает из этого выражения непосредственно

Тогда уравнения входа и выхода принимают вид:

  

3. Последовательное программирование. Запишем ПФ (3.13) в виде произведения дробно-рациональных функций (нули/полюса)

                                                                                        (3.17)

Схема системы в переменных состояния из этого выражения такова:

Согласно схеме и уравнениям

   

Пример

Рассмотрим систему из двух емкостей. Входные воздействия - перемещения клапанов на притоке жидкости  u1(t) и стоке u2(t) , выходная величина - уровень жидкости во второй емкости y (t) = x2(t) . Для отрезка времени  D tуравнение материального баланса любого бака имеет вид

где F- площадь сечения бака.

Для системы из двух емкостей  при D t® 0   уравнения баланса таковы:

                                                                                                        (3.18)

Расход жидкости зависит от перепада давления на клапанах (м)  и степени их открытия  u

                                                                                                             (3.19)

где P0пр и P0ст - давления на притоке перед клапаном и на стоке после клапана, м. Они постоянны. При подстановке (3.19) в (3.18) получим систему нелинейных уравнений состояния. Их можно линеаризовать.

Тогда при  x01 = 2 м,  x02 = 1 м,  P0пр = 6 м, P0ст = 0,  u01 = u02 = 0,5  и  F1 = F2 = 1 м2, получим

                                                          (3.20)

Исключением переменных состояния x1(t) и x2(t) система уравнений (3.20) приводится к уравнению 2-го порядка

Теперь найдем матричную ПФ, отвечающую системе уравнений (3.20).

Матрицы уравнений в ПС таковы:

   

Отсюда

Обратная матрица равна

Откуда ПФ в матричном виде равна

или

Таким образом, ПФ по каналам действия u1(t) и u2(t)

При определении уравнений состояния по уравнению «вход-выход» реальной динамической системе можно поставить в соответствие несколько моделей, адекватно воспроизводящих вход и выход  реальной системы, но имеющих разную внутреннюю структуру. Если по такой модели (из ДУ «вход-выход») можно восстановить ее внутреннюю структуру, система называется наблюдаемой.

Ненаблюдаемость системы возникает обычно, если в ПФ есть одинаковые и потому сокращаемые сомножители. В результате число уравнений состояния модели оказывается меньше числа уравнений состояний системы.

Поэтому ДУ состояния обычно содержат более полную информацию о реальной динамической системе, чем ее ПФ.

В соответствии с критерием Р.Калмана ОУ полностью управляем, если и только если блочная матрица nx nm

Qу = [B, AB, A2 B, … , An– 1B ]

имеет ранг размерности nпространства состояний, т.е. если rank Qу = n.

Ранг матрицы находится как наибольший порядок  отличных от нуля квадратных миноров матрицы.

Ранг матрицы Qу равен числу ее линейно независимых столбцов.

Если В матрица-столбец, то для пол-ной управляемости необходимо, чтобы квадратная матрица управляемости Qу была невырожденной, т.е. чтобы ее определитель det Qу ¹ 0. 

Если A диагональная матрица и все ее элементы различны, то для управляемости нужно, чтобы матрица В не содержала нулевых строк.

Если ранг матрицы Qу меньше n, то ОУ не полностью управляемый.

Система, описываемая уравнением выхода,

называется полностью наблюдаемой, если по данным измерения или наблюдения векторов y(t) и u(t) на конечном интервале времени t0 < t< t1 можно однозначно определить (восстановить) начальное состояние x(t0).

В соответствии с критерием Р.Калмана ОУ полностью наблюдаем, если и только если блочная матрица nx nm

Qн =т, AтСт, (Aт)2Ст,…, (Aт)n – 1 Ст]

имеет ранг размерности nпространства состояний, т.е. если

rank Qн = n.

Если ранг матрицы наблюдаемости меньше n, то ОУ не полностью наблюдаемый.

Если матрица С состоит лишь из одной строки, то для наблюдаемости необходимо и достаточно, чтобы  квадратная матрица Qн была невырожденной , т.е. чтобы ее определитель det Qн ¹ 0..

Если A диагональная матрица и все ее элементы различны, то для наблюдаемости необходимо, чтобы матрица С не содержала нулевых столбцов.

Для установления управляемости и наблюдаемости СУ существуют различные вычислительные процедуры, в том числе и на ЭВМ.

Для их понимания и использования необходимо хорошо знать свойства матриц, их преобразование и  вычисление.

MATLAB 7

Пояснения по матрицам A, B, C, D, получаемым в MATLAB в методе пространства состояния.

Команда ss  в MATLAB

Преобразуем ПФ (3.13) из примера последовательного программирования СУ в ПС

с помощью MATLAB. Для этого введем:

h= tf ([1  3  2],[1  7  12  0] );

h1 = ss (h)

MATLAB выдаст матрицы А, B, C, D

   

В MATLAB переменные состояния расположены в порядке убывания производных, т.е. от входа uидет х1, х2, х3, а не в обычном порядке х3, х2, х1.

Модель СУ в MATLAB строится методом прямого программирования.

Если использовать матрицы A, B, C, D других методов программирования, то результат перехода к ПФ вида TF будет один и тот же, а именно (3.13).

Уравнения модели СУ в ПС для рассматриваемого примера таковы:

Похожие материалы

Информация о работе