Расчет и анализ однофазной цепи переменного тока (U = 500 В, ƒ = 50 Гц, Lл = 25 мГн)

Новосибирский государственный

архитектурно-строительный университет (Сибстрин)

Кафедра строительных машин,

автоматики и электротехники

Индивидуальное задание №2  

 Вариант № 0

РАСЧЕТ И АНАЛИЗ ОДНОФАЗНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

  Выполнила студентка гр. 219 Б

 Вепрева Анна

 Проверила ст. преподаватель

Осипова Л.Б.

Новосибирск-2008

U = 500 B

         ƒ= 50 Гц

L_Л = 25 мГн

R₁ = 12 Ом

R₂ = 18 Ом

L₁ = 151 мГн

C₂ = 119 мкФ

I. а) Ключ разомкнут, до резонанса напряжений.

Полное комплексное сопротивление цепи:

Z= R₂ + jX_Lл – jX_С2

Реактивные сопротивления катушки и конденсатора :

X_Lл = w·L_Л = 2πƒL_Л = 314,16_*·25·10^-3 = 7,85 Ом

X_C2 = 1/(w·С₂) = 1/(314,16·119·10^-6) = 26,75 Ом

Z = 18 + j(7,85 – 26,75) = 18 – j18,9 = 26,1e^-j46,4° Ом

Ток в последовательной цепи :

I = U_вх/Z = 500/26,1e^-j46,4° = 19,16 e ^j46,4° =

=19,16·cos 46,4° + j19,16·sin 46,4° = 13,21 + j13,88 A

Падения напряжения на участках цепи:

U_R2 = I·R₂ = 19,16e^j46,4°·18 = 344,88 e ^j46,4°В

U_C2 = -jX_C2·I = 26,75· e^-j90° 19,16e ^j46,4°· = 512,53e^-j43,6° B

U_Lл = jX_Lл·I = 7,85e^j90°·19,16e ^j46,4° = 150,41e ^j136,4° B

Полная кажущаяся мощность

S = U·I^* = 500·(13,21 – j13,88) = 6605 – j6940 BA = 9580,7 e^-j46,4° BA

Векторная диаграмма: М_U= 50В/см; М_I = 4А/см

I. б) Ключ разомкнут, резонанс напряжений.

Резонанс напряжений выражается в том, что полное сопротивление контура становится наименьшим и равным активному сопротивлению, а ток становится максимальным.

Условием резонанса напряжений является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений для токагенератора:

X_Lл = X_C2

w·L_Л = 1/(w·C_2P)  =>C_2P = 1/(w²·L_л) = 405,7 мкФ

Ток в последовательной цепи во время резонанса напряжений:

I_P = U/(R₂ + jX_L – jX_C2р) = U/R₂ = 500/18 = 27,78 A

Падение напряжения на участках цепи:

U_XL = I_P·jX_Lл = 27,78·7,85e^j90° = 218,06e^j90°B

U_C2 = -jX_C2р·I_P = 27,78·7,85e^-j90° = 218,06e^-j90° B

U_R2 = R₂·I_P = 18·27,78 = 500 B

Полная мощность :

S = I_*·U = 500·27,78 = 13890 Вт    или по другой формуле

S = R₂·I_P²=18 _* 27,78²= 13891 Вт

Векторная диаграмма: М_U= 50В/см; М_I = 4А/см

II. а) Ключ замкнут, до резонанса токов.

Реактивное сопротивление катушки в 1-й ветви:

X_L1 = w·L₁ = 2πƒL₁ = 314,16_*·151·10^-3 = 47,44 Ом

Полные комплексные сопротивления  3-х ветвей:

Z_Л = jX_Lл = 7,85 e^j90° Ом

Z₁ = R₁ + jX_L1 = 12 + j47,44 = 48,93 e^j75,8° Ом

Z₂ = R₂ – jX_C2 = 18 – j26,75 = 32,24 e^-j56,06° Ом

   Эквивалентное сопротивление параллельных ветвей

Z_АВ = Z_1* Z₂ /( Z₁+ Z₂) =

=(48,93e^j75,8°  _*32,24e^-j56,06°) / (12 + j47,44+18 – j26,75 ) =

= (1577,5_* e ^j19,74)/(30+ j 20,69) =(1577,5_* e ^j19,74)/(36,44_* e ^j34,6) =  =43,29_* e ^–j14,86=43,29_*cos(-14,86) + j43,29_*sin(-14,86)=41,84– j11,1 А

Общее сопротивление схемы:

Z_общ = Z_АВ + Z_Л = 41,84– j11,1 + j7,85 = 41,84 – j3,25 = 41,97e^-j4,44° Ом

Ток в неразветвленной части цепи:

I_общ = U/Z_общ = 500/41,97e^-j4,44° = 11,91e^j4,44° = 11,87+j0,92 A

Напряжение на зажимах параллельных ветвей:

U_AB = I_общ·Z_AB = 11,91e^j4,44°·43,29e^-j14,86° = 515,58e^-j10,42° B

Токи ветвей:

I₁ = U_AB/Z₁ = 515,58e^-j10,42°/48,93e^j75,8°=10,54e^-j86,22° = 0,69 – j10,52 A

I₂ = U_AB/Z₂ = 515,58e^-j10,42° /32,24e^-j56,06° = 16e^j45,64° A

Полная мощность:

S=I^*·U = 500·(11,87 – j0,92) = 5935 – j460 = 5952,8 e^-j4,44° BA

                                                  PQ

Р -активная мощность (Вт) , Q– реактивная мощность (ВАр)

Падение напряжения в линии:

U_Zл = jX_Lл·I = 11,91e^j4,44°·7,85e^j90° = 93,45e^j94,44° B

Векторная диаграмма: М_U= 50В/см; М_I = 2А/см

II. б) Ключ замкнут, резонанс токов.

Физический признак резонанса токов –минимальный ток, потребляемый источником ( ток в линии ). Явление полезное в силовых цепях, т.к. уменьшаются потери мощности DP=R_л* I_л².

Условие резонанса токов: реактивная проводимость ветви с катушкой должна быть равна реактивной проводимости ветви с конденсатором: 

B_L = B_C [ Сименс ]

 X_L1/(R²₁ + X²_L1) = X_C2/(R²₂ + X²_C2р)

Решаем квадратичное уравнение относительно X_C2р

47,44/(144 + 2250,55) = X_C2р/(324 + X²_C2р)

15370,56 + 47,44X²_C2р = 2394,55X_C2р

X²_C2р – 50,48X_C2 + 324 = 0

D = 2548,23 – 1296 = 1252,23

X'_C2 = 42,93 Ом

X"_C2 =  7,55 Ом

Определим емкость конденсатора, обеспечивающую нужное реактивное сопротивление 2-й ветви:

C_2P ' = 1/(w·X’_C2р) = 1/(314,16_*·42,93) = 74,15·10^-6 Ф

C_2P" = 1/(w·X”_C2р) = 1/(314,16_*·7,55) = 421,6·10^-6 Ф

Новое полное комплексное сопротивление 2-й  ветви с новым конденсатором :

Z'_2P = R₂ – jX'_C2р = 18 – j 42,93 = 46,55e^-j67° Ом

Z"_2P = R₂ – jX"_C2р = 18 – j 7,55e^-j23° Ом= 19,52 e^-j22,75°

Ток во 2-й  ветви с  новым конденсатором 

I'_2P = U_AB/Z'_2P = 515,58e^-j10,42°/46,55e^-j67° = 11,08e^j56,83° =

11,08·cos 56,83° + j11,08 sin 56,83°= 6,06 + j 9,27 A

I"_2P = U_AB/Z"_2P = 515,58e^-j10,42°/19,52e^-j22,75° = 26,41e^j12,33° =

26,41 ·cos 12,33° + j·26,4 sin 12,33° = 25,8  + j 5,64 A

Ток в неразветвленной части цепи (в линии):

I' = I₁ + I'_2P= 0,69 – j10,52 + 6,06 + j 9,27 A= 6,75 – j 1,25=

       6,86е^-j10,49°А

I" = I₁+ I"_2P= 0,69 – j10,52 + 25,8 + j 5,64  A= 26,49 – j 4,88=

26,94е^-j10,44°А

Сравнивая ток в линии  при наличии во 2-й ветви 3-х различных конденсаторов (11,91e^j4,44°А при С₂=119 мкФ;

6,86 е^-j10,49°А при C'_2P = 74,15·10^-6 Ф и  26,94 е^-j10,44°А при C"_2P = 421,6·10^-6 Ф ), выбираем конденсатор, обеспечивающий минимальный ток в  линии C'_2P = 74,15·10^-6 Ф.

Векторная диаграмма: М_U= 50В/см; М_I = 2А/см