Определители. Матрицы. Действия над матрицами. Метод Гаусса, однородные системы уравнений

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Определителем n-го порядка называется число, определяемое таблицей:

Минором Мij элемента аij определителя n-го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания i –ой строки и j –го столбца.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij определителя n-го порядка называется минор, взятый со знаком ( – 1)i+j.  т.е. Аij = ( – 1)i+j· Mij

Теорема Лапласа: определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов какого-либо ряда определителя на их алгебраические дополнения:

 - разложение определителя по j-ому столбцу.

  - разложение определителя по i –ой строке.

Свойства определителей:

1)  Если определитель имеет ряд, состоящий из одних нулей, то такой определитель равен нулю.

Например,  .

2)  Если определитель имеет пропорциональные ряды, то определитель равен нулю.

Например,  .

3)  Если поменять местами два каких-либо ряда определителя, то знак определителя изменится на противоположный.

Например, 

4)  Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например, 

5)  Определитель не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить элементы другого ряда, умноженные на одно и то же число.

Например, 

6)  При транспонировании значение определителя не меняется.

Например, 

7)  Теорема аннулирования: сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Например: .

8)  Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали:

Например:     .

Матрицы. Действия над матрицами.

Матрицей размерности mxnназывается таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

Если m = n, то матрица называется квадратной.

Числа аij называются элементами матрицы, индекс i - номер строки, j – номер столбца.

Квадратная матрица, у которой все элементы кроме диагональных равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, называется единичной. Ее обозначают Е.

Например, .

Над матрицами можно выполнять действия сложения, умножения на число, умножение матриц.

1. Сложение матриц определено только над матрицами одинаковой размерности.

Суммой 2-х матриц размерности mxn называется матрица mxn , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц. Т.е. А+B = C,  cij=aij+bij,  i =1..m, j=1..n.

2. Чтобы умножить матрицу на число, надо это число умножить на каждый элемент матрицы

λ·А = В,  bij= λ·aij , i=1..m, j=1..n.

3. Умножение 2-х матриц определено в том случае, когда количество столбцов 1-ой матрицы равно количеству строк 2-ой матрицы.

Произведением 2-х матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы:

  A    ·    B    =     C,      cij=ai1·b1j + ai2·b2j +…+ aim·bmj   ,  i = 1…mj = 1…k          

mxnnxkmxk

Свойства действий над матрицами.

1.   

A + B = B + A

10.   

(A + B) · C = A · C + B · C

2.   

A + (B + C) = (A + B) + C

11.   

k· (A·B) = (k·A) · B

3.   

A + 0 = A

12.   

Ak = A·A·…·A

            k раз

4.   

A – A = 0

13.   

A·B ≠ B·A

5.   

E · A = A

14.   

(A + B)T = AT + BT

6.   

k· (A + B) = k·A + k·B

15.   

(A ∙ B)T = BT ∙ AT

7.   

(k + m) · A = k·A + m·A

16.   

(AT)T = A

8.   

k·(m·A) = (k·m) ·A

17.   

(k ∙ A)T = k ∙ AT

9.   

A· (B · C) = (A· B) · C

Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель матрицы не равен нулю (detA ¹ 0), в противном случае матрица называется вырожденной.

Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если А-1 ∙ А = А ∙ А-1 = Е.

Теорема существования обратной матрицы: всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Обратная матрица для данной невырожденной матрицы вычисляется

Похожие материалы

Информация о работе