Основы планирования экстремального эксперимента для оптимизации многофакторных технологических процессов, страница 3

Исследовалась зависимость числа(y) изготовляемых деталей в час от числа работающих токарных станков различной производительности . Независимое переменное принимало значения 10, 20, 30, 40, 50. Основной уровень  равен 30, интервал варьирования I равен 20. Кодирование значения равны: -1; -0,5; 0; 0,5; 1.

Исходные данные можно теперь представить в виде табл. 1, матрицы независимых переменных.

Таблица 1

Матрица независимых переменных

В матрице имеются два вектор-столбца: вектор-столбец "фиктивной" переменной х₀ и вектор-столбец переменной х₁, а также пять вектор-строк. Введение вектор-столбца х₀ дает возможность от двух формул для расчета коэффициентов регрессии: , , перейти к одной:

, i = 0,1.

Для расчета коэффициентов регрессии к матрице независимых переменных добавляют вектор-столбец результатов опытов (табл. 2).

Таблица 2

Матрица независимых переменных и результатов опытов

Коэффициенты регрессии равны:

,

.

Уравнение регрессии: у 150 + 60х₁.

В приведенной матрице выполняется условие ортогональности вектор-столбцов: . Коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга.

После расчета коэффициентов регрессии производится статистический анализ уравнения, называемый проверкой адекватности модели.

Проверка адекватности включает следующие операции:

1. Расчет дисперсии воспроизводимости. Рассмотрим случай, когда в каждом опыте было проделано равное число n параллельных наблюдений. Дисперсия среднего арифметического каждого опыта:

, .

Далее с помощью критерия Кохрена проверяется гипотеза об однородности дисперсии. Величина критерия Кохрена равна отношению максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

.

Значения G-критерия для уровней значимости 0,05 и 0,01 приведены в табл. 4 Приложения, где f = n-1. Если рассчитанное значение критерия окажется меньше табличного, то гипотеза об однородности дисперсий принимается. Однородность дисперсий позволяет рассчитать оценку дисперсии воспроизводимости всего эксперимента:

.

Число степеней свободы этой оценки равно N(n-1).

2. Расчет суммы квадратов для проверки гипотезы адекватности:

3. Расчет дисперсии для проверки гипотезы адекватности :

,

где f_R = N - m, m - число определяемых коэффициентов регрессии. Для линейного случая и одного фактора m = 2.

4. Расчет критерия Фишера F и проверка гипотезы адекватности:

.

Рассчитанное значение критерия Фишера сравнивается с табличным значением обычно для уровня значимости 0,05 (Приложение, табл.1) и степеней свободы: f_R для числителя и N(n-1) для знаменателя.

Кроме того, при статистическом анализе (перед проверкой адекватности) проверяется гипотеза о значимости коэффициентов регрессии. Для этого удобно пользоваться t-критерием. В первую очередь необходимо рассчитать дисперсии коэффициентов регрессии:

 i = 0,1.

Затем вычисляется t-критерий:

.