Основные возможности моделирования комбинационных схем в «ElectronicsWorkbench». Арифметические основы представления и преобразования информации. Методы построения таблиц истинности. Программирование логических содержательных задач

цифру (от 0 до 9) представляют четырехразрядной двоичной тетрадой. Например:

.

При обратном переводе двоично- десятичное число влево и вправо от запятой разбивают на четвертки цифр- тетрады, а затем каждую тетраду заменяют соответствующей десятичной цифрой. Например:

.

В табл. 2.1 приведены записи чисел от 0 до 20 в различных системах счисления.

Таблица 2.1.

Представление чисел в различных системах счисления

10- чная	2- чная	8- чная	16- чная	2-10- чная
0	0	0	0	0000
1	1	1	1	0001
2	10	2	2	0010
3	11	3	3	0011
4	100	4	4	0100
5	101	5	5	0101
6	110	6	6	0110
7	111	7	7	0111
8	1000	10	8	1000
9	1001	11	9	1001
10	1010	12	А	00010000
11	1011	13	В	00010001
12	1100	14	С	00010010
13	1101	15	D	00010011
14	1110	16	E	00010100
15	1111	17	F	00010101
16	10000	20	10	00010110
17	10001	21	11	00010111
18	10010	22	12	00011000
19	10011	23	13	00011001
20	10100	24	14	00100000

Перевод из одной системы счисления в другую

Рассмотрим общие правила перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

1.  Перевод целого числа из системы счисления с основанием S в другую систему с основанием Q осуществляется последовательным делением его на основание Q новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньшее Q. Число в новой системе запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Указанное деление выполняется в исходной системе счисления.

Выполним по этому правилу перевод десятичного числа 377₍₁₀₎ сначала в двоичную, а затем в восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Аналогично выполним перевод в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

Остатки от соответствующих делений дают записи в новых системах счисления, т.е. 377₍₁₀₎ = 101111001₍₂₎ = 571₍₈₎ = 179₍₁₆₎.

2.  Перевод правильной дроби из одной позиционной системы счисления в другую осуществляется последовательным умножением ее на основание новой системы счисления; при этом перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе счисления записывается в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.

Например, переведем десятичную дробь 0,6875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

,

.

В шестнадцатеричной системе счисления целая часть произведения 11 запишется символом В (см. табл. 2.1), поэтому окончательно получим 0,6875₍₁₀₎ = 0,1011₍₂₎ = 0,54₍₈₎ = 0,В₍₁₆₎.

При переводе дробей в новую позиционную систему счисления последовательное умножение на основание этой системы выполняют до получения дробной части, равной нулю или до получения необходимого количества разрядов после запятой.

3.  Для перевода неправильных десятичных дробей в новую позиционную систему счисления (например, 15,6875) необходимо, пользуясь приведенными правилами, выполнить отдельно перевод целой и дробной частей.

4.  Обратный перевод в десятичную систему счисления из других позиционных систем счисления выполняется с использованием позиционного разложения в степенной ряд исходного числа. Для этого данное число представляется в виде суммы степеней своего основания, вычисляются значения десятичных эквивалентов отдельных разрядов, которые затем суммируются. Например:

Двоичная арифметика

Особенностью двоичной системы счисления является то, что арифметические операции в ней очень просты. Для выполнения четырех арифметических действий используются обычные правила арифметики.

Сложение двоичных чисел. Приведем правила сложения двоичных чисел: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10. Пользуясь этим правилом, можно выполнять сложение многоразрядных двоичных чисел подобно тому, как это делается в десятичной системе счисления. Необходимо только учитывать, что 1 + 1 дают 0 в данном разряде и 1 переноса в старший разряд. Сложим, например, по общему правилу двоичные числа 1100 (двенадцать) и 110 (шесть):

.

Проверим результат:

Более сложно выполняется сложение одновременно трех двоичных чисел и более. В этом случае нужно внимательно следить за образующимися единицами переноса в старшие разряды, поскольку эти единицы переноса могут переходить не только в соседние старшие разряды, но и в более удаленные.

Вычитание двоичных чисел. Приведем правила вычитания двоичных чисел: 0 – 0 = 0, 1 – 1 = 0, 1 – 0 = 1, 10 – 1 = 1. При вычитании многоразрядных двоичных чисел может возникнуть необходимость заема единицы в ближайшем старшем разряде, что дает две единицы младшего разряда. Если в соседних старших разрядах стоят нули, то приходится занимать единицу через несколько разрядов. При этом единица, занятая в ближайшем старшем разряде, дает две единицы в младшем разряде и единицы во всех нулевых разрядах, стоящих между младшим и тем старшим разрядом, у которого брался заем. например:

.

Проверим результат:

Умножение двоичных чисел. Приведем правила умножения двоичных чисел: 0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1. Умножение двоичных чисел производят по тем же правилам, что и для десятичных чисел. При этом используют таблицу умножения и сложения. Умножение многоразрядных двоичных чисел сводится к умножению множимого на каждый разряд множителя, последующему сдвигу множимого или множителя и суммированию получающихся частичных произведений. Например:

.

Проверим результат:

.

Деление двоичных чисел. При делении двоичных чисел используют таблицу умножения и вычитания. Правила деления аналогичны делению в десятичной системе и сводятся к выполнению умножений, вычитаний и сдвигов. Например, выполним деление 110110 (54) на 110 (6):

.

Проверим результат:

Логическая арифметика

Над информацией в ЭВМ производятся не только арифметические операции, но логические. Основные логические операции приведены в лабораторной работе № 1. Перед выполнением операции сначала необходимо выровнять порядки операндов, а затем уже производится сама логическая операция поразрядно.

Например, найдем инверсию двоичного числа 110100. Для этого заменяем все единицы на нули, а нули- на единицы. Получим новое двоичное число 001011.

Найдем конъюнкцию и дизъюнкцию двух двоичных чисел 1111 и 100:

.

Сложение по модулю два (исключающее или) этих же двоичных чисел приводит к следующему результату:

.

Лабораторное задание:

1.  Машинная арифметика

1.1.  Заданы два целых числа А₍₁₀₎ и В₍₁₀₎ (в десятичной системе счисления). Представить заданные числа в:

·  двоичной,

·  восьмеричной,

·  шестнадцатеричной,

·  двоично- десятичной

системах счисления. Произвести обратный перевод в десятичную систему счисления. Числа А₍₁₀₎ и В₍₁₀₎ выбрать из таблицы 2.2 в соответствии с вариантом.

1.2.  Заданы две правильные дроби С₍₁₀₎ и D₍₁₀₎ (в десятичной системе счисления). Представить заданные числа в:

·  двоичной,

·  восьмеричной,

·  шестнадцатеричной

системах счисления. Произвести обратный перевод в десятичную систему счисления. Числа С₍₁₀₎ и D₍₁₀₎ выбрать из таблицы 2.2 в соответствии с вариантом.

1.3.  Над числами А₍₂₎ и В₍₂₎ (из п.п.1.1), представленных в двоичной системе счисления, произвести арифметические операции:

·  сложения,

·  умножения.

Произвести проверку полученных результатов с помощью арифметических операций:

·  вычитания,

·  деления.

2.  Логическая арифметика

2.1.  Над числами А₍₂₎ и В₍₂₎ (из п.п.1.1), представленных в двоичной системе счисления, произвести логические операции:

·  конъюнкцию,

·  дизъюнкцию,

·  сложение по модулю два,

·  отрицание.

2.2.  Вычислить значение функции f(A, B) = .

Таблица 2.2.

Индивидуальные варианты к лабораторнойработе

№ варианта	А	В	С	D
1	125	37	0,25	0,125
2	130	40	0,27	0,135
3	135	43	0,30	0,145
4	145	46	0,32	0,155
5	150	49	0,35	0,165
6	105	52	0,45	0,115
7	115	55	0,55	0,175
8	100	58	0,65	0,185
9	105	61	0,75	0,195
10	115	64	0,78	0,205
11	110	67	0,85	0,305
12	120	70	0,15	0,405
13	130	73	0,95	0,505
14	140	76	0,66	0,605
15	150	79	0,88	0,705

Контрольные вопросы:

1.  Поясните сущность позиционных систем счисления. Как представляется запись числа в таких системах путем разложения в степенной ряд?

2.  Докажите целесообразность использования в ЭВМ двоичной системы счисления. Укажите другие системы счисления, применяемые в ЭВМ.

3.  Сформулируйте общие правила перевода целых и дробных чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

4.  Сформулируйте правила сложения двоичных чисел.

5.  Сформулируйте правила вычитания двоичных чисел.

6.  Сформулируйте правила умножения двоичных чисел.

7.  Сформулируйте правила деления двоичных чисел.

8.  Каким образом производятся логические операции над двоичными числами?

Лабораторная работа № 3

«Методы построения таблиц истинности»

Цель работы: изучить основные методы построения таблиц истинности.

Теоретическое введение

Существует достаточно много способов построения таблиц истинности логических выражений. Мы рассмотрим два самых популярных из них: с помощью Microsoft Excel и программный метод построения таблиц истинности.

Построение таблиц истинности с помощью Microsoft
Excel

Ввод данных с помощью мастера функций.

1. Установите курсор в ячейку таблицы, в которую надо ввести данные.

2. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке  строки
формул.

3. Выберите в окне списка Категория пункт Логические и в окне списка Функции пункт с именем нужной функции:

4. Щелкните левой кнопкой мыши по кнопке ОК. После этого ячейке А2 присвоится значение Ложь, соответствующее логическому нулю. Таким образом заполните все возможные наборы аргументов А и В в таблице истинности.

5. Установите курсор в ячейке С2 и вызовите мастера функций. Выберите логическое отрицание НЕ. Нажмите кнопку ОК, после чего появится диалоговое окно, в котором необходимо указать аргумент выбранной вами функции, т.е. указать адрес ячейки, в которой находится аргумент.

Снова нажмите ОК. В указанной вами ячейке появится значение функции ИСТИНА, что соответствует логической единице. Подобным образом заполните таблицу истинности, найдя значения функций ,, А&В, АvВ.

Примечание: выбрать ячейку, значение которой выбирается в качестве аргумента функции, можно одним из двух способов: а) ввести имя ячейки с клавиатуры; б) щелкнуть левой кнопкой