Биномиальная модель оценки стоимости опционов, страница 2

Стоимость портфеля «деньги–акции», если его состав точно известен, определяется достаточно просто. Учитывая же что в биномиальной модели данный портфель всегда так составлен, чтобы по стоимости он был равен стоимости конкретного опциона, проблема определения стоимости опциона становится вполне разрешимой.

Проанализируем биномиальную модель определения цены опциона с одним периодом, рассчитав для этого параметры так называемого хеджированного портфеля, эквивалентного опциону колл.

Предположим, что базисная акция с курсовой стоимостью S0 может к концу текущего периода, например, квартала, либо вырасти в цене с коэффициентом роста u > 1, либо упасть в цене с коэффициентом роста d £ 1. На рассматриваемые акции выписан опцион колл сроком на 3 месяца (квартал) с ценой исполнения Е.

Обозначим через Vu – стоимость опциона к концу периода, если цена акции в этот момент достигнет уровня uS0:

Vu = max {0; uS0 – E}.

Аналогично обозначим Vd – стоимость опциона колл к концу периода, если цена базисной акции к этому моменту снизится до уровня dS0:

Vd = max {0; dS0 – E}.

Допустим, мы имеем возможность занять деньги под безрисковую ставку. Тогда, если мы займем некоторую сумму денежных средств D, и приобретем m акций, полученный таким образом инвестиционный портфель будет иметь стоимость: (mS0 + D).

Стоимость такого портфеля должна быть в точности равна стоимости опциона колл (Vc), то есть через квартал в момент истечения опциона рассматриваемый портфель должен обеспечить нам получение дохода Vu или Vd в зависимости от того, повысится цена базисной акции или понизится.

С учетом вышесказанного, если доходы от хеджированного портфеля и от опциона одинаковы, а цена акций растет, должно выполняться следующее равенство:

m × u × S₀ + D(1 + ) = V_u.

Если доходы от хеджированного портфеля и от опциона одинаковы, а цена базисной акции подает, будет выполнятся равенство:

m × d × S₀ + D(1 + ) = V_d.

Значения V_u и V_d на конец периода, когда истекает срок опциона, известны, так как известны характеристики опциона и цена базисной акции. Таким образом, имеем два уравнения с двумя неизвестными m и D:

m × u × S₀ + D(1 + ) = V_u,

m × d × S₀ + D(1 + ) = V_d.

Вычитая из первого уравнения второе, получим решение относительно m:

Величина m называется коэффициентом хеджирования или дельтой опциона: она определяет, сколько базисных акций необходимо купить, чтобы получить от портфеля такой же денежный доход, как и от покупки одного опциона колл.

Подставляя найденное значение m в рассматриваемую систему уравнений и решая ее относительно параметра D, получим:

Найдя параметры хеджированного портфеля, можно рассчитать его стоимость, а следовательно, и стоимость эквивалентного ему опциона колл:

Vc = mS0 + D.

Покажем, как биномиальная модель опциона используется для формирования хеджированного портфеля и определения стоимости опциона колл.

Многопериодная биномиальная модель оценки стоимости опциона колл (Vc) представляется выражением:

где              t – количество периодов, на которое разбивается интервал времени, оставшийся до исполнения опциона (Т);

 – безрисковая ставка процента;

u, d – темпы роста цены базовой акции при наступлении первого или соответственно второго состояния экономики: u > d;

k – количество раз возрастания цены с темпом u;

(t – k) – количество раз возрастания цены с темпом d;

S – рыночная цена базисной акции;

Е – цена исполнения опциона.

В многопериодной биномиальной модели вычислительный процесс происходит итеративно, от конца к началу по шкале времени. На каждом шаге оценивается дублирующий инвестиционный портфель, снабжая при этом информацией о стоимости опциона для этого периода, необходимой для дальнейших вычислений. Конечным результатом вычислительного процесса является стоимость опциона, выраженная в составных элементах дублирующего портфеля, то есть состоящая из определенного количества базисного актива (m) и количества денежных средств (D), занятых под безрисковую процентную ставку.