Проверка стационарности информационного потока

1.Проверка стационарности информационного потока

ПустъХ₁,...,Х_т — случайные величины, определяемые числом событий потока на т непересекающихся интервалах одинаковой длины (например, это числа событий т последовательных часов суток). У стационарного потока случайные величины Х₁,...,Х_т имеют один и тот же закон распределения. Для проверки этого утверждения воспользуемся данными наблюдений X_i^(j) (j=1,...,n; i=1,...,m) и, рассматривая наблюдения случайной величины в разные сутки, как п реализаций Х_i.

Воспользуемся критерием Крускала-Уоллиса [9,10], применение кото­рого не связано с каким-либо предположением о виде распределений слу­чайных величин Х_i,  i=!,...,т.

Для вычисления значения статистики W критерия Крускала-Уоллиса необходимо:

расположить все N=mn значений X_i^(j) в порядке убывания и припи­сать каждому значению ранг (номер места в упорядоченной указанным образом последовательности). Если в последовательности из N чи­сел имеется k одинаковых, то каждому из них присваивается ранг, рав­ный среднему номеру занимаемых этими числами мест (например, если на 5-м и 6-м местах стоят одинаковые числа, то каждому приписывается ранг 5,5);

найти суммы рангов r_i наблюдений случайных величин X_i, i=1,m;

рассчитать по формуле 13:

Числитель выражения (13) есть умноженная на п сумма квадратов отклонений средних рангов для каждой случайной величины X_i, от средне­го ранга по всей последовательности; средний ранг рассчитывается по формуле

Знаменатель выражения (13) — средний квадрат отклонения от среднего ранга всех элементов последовательности. Если все X_i имеют один и тот же закон распределения, то W принимает малые значения, при разных законах распределения  X_i,  (т.е. при отсутствии стационарности) W  принимает большие значения.

При совпадении законов распределения X_i, статистика                          W.(N-1)/Nимеет χ ²- распределение с числом степеней свободы ν = m-1. Поэтому для про­верки гипотезы о стационарности потока (одинаковости распределений слу­чайных величин X_i) необходимо:

задаться уровнем значимости α (обычно 0,05 или 0,01);

в таблицах χ ²— распределения [9,11] найти квантиль распределения

порядка 1- α, при ν степенях свободы (χ ² _1-α,ν);

если (N-1)*W/N> χ ² _1-α,ν, то гипотезу о стационарности следует  отклонить,

в противном случае может быть сделан вывод о соответствии результатов наблюдений предположению о стационарности потока.