Основы интегрального исчисления. Методы нахождения неопределенных интегралов. Вычисление определенных интегралов (Практическое занятие № 3)

Страницы работы

Содержание работы

Задание для студентов на практическое №3 по теме

 «Основы интегрального исчисления. Методы нахождения неопределенных интегралов. Вычисление определенных интегралов»

Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме

Вопросы теории ( исходный уровень)

1.  Первообразная функции и неопределённый интеграл.

2.   Интегрирова­ние.

3.   Методы нахождения неопределенных интегралов: приведение к табличному виду и метод замены переменной, интегрирование по частям.

4.  Определённый интеграл, его применение для вычисления площадей фигур и работы переменной силы.

5.  Вычисление определенных интегралов, правило Ньютона-Лейбница.  

6.  Примеры использования интегрального исчисления в медицинских задачах. (самостоятельная подготовка)

Содержание занятия:

1.ответить на вопросы по теме занятия

2.решить примеры

Примеры

Найти интегралы:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

 Вычислить интегралы:

1)                                 

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

Тема

Неопределенный интеграл

Функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной или f(x)dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx.

Свойства неопределенного интеграла

∫f(x)dx=F(x)+C

∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx

∫ d(F(x))=F(x)+C

(∫f(x)dx)=f(x)

∫f(x)dx= ∫f(t)dt

d∫f(x)dx=f(x)dx

∫af(x)dx+a∫f(x)dx

Основные интегралы

∫dx=x+C

∫xndx=xn+1/  (n+1) +C    (n≠-1)

∫dx/x=ln|x|+C

∫axdx=ax/lna +C

∫exdx=ex+C

∫sin x dx=-cos x +C

∫cos xdx=sin x +C

∫dx/cos2x=tgx+C

∫dx/sin2x=-ctgx+C

∫dx/(1-x2)1/2=arcsinx=-arccosx

∫dx/(1+x2)= arctgx=- arcctgx

Интегрирование по частям

∫ udv = uv—∫ vdu.

Пример

Найти у = ∫ ln хdх.

Полагаем  и=lпх, dv = dx, тогда  dи =dx/x, v = x

Используя  формулу интегрирования по частям, получаем

у = ∫ ln xdx = x ln х-∫ dх = xlnx-x+C

Пример метод непосредственного интегрирования

Найти у= ∫ (1+ 2x2)dx 

На основании свойства интеграла суммы запишим

у= ∫ (1+ 2x2)dx = ∫ dx+2 ∫ x2dx =x+2x3/3+C

Пример; метод замены переменной( метод подстановки)

∫tgxdx=∫(sinx/cosx)dx  обозначим cosx=t

Продифферинцируем праву и левую часть

-sinxdx=dt  найдем dx=dt/(-sinx)

Запишим интеграл через новые переменные

∫(sinx/t) dt/(-sinx)  =-∫dt/t= lnt+C или lncosx+C

Определенный  интеграл

Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b] представляет предел интегральной  суммы

lim∑f(ki)Δxi    ( от i=1 до  n и Δx→0)

где ki — произвольная точка соответствующего отрезка.

Формула Ньютона — Лейбница

где F′ — первообразная функцию f(x), т е

F′(x)=f(x)

Некоторые свойства определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,

Площадь фигуры, ограниченной двумя  кривыми y=.f1(x)  и у = = f2(x)    [ f'2(x)≥f1(x)] и двумя прямыми х=а и х=b,

Дифференциальные уравнения

Общий вид дифференциального уравнения

F(x ,y,y′,y″,…yn) = О

Общee решение дифференциального уравнения

y=f(x, C1,C2,     , Сn)

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

F(x,y,y') = 0

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка

y= f(x,C)

примеры

 1 Дифференциальное уравнение типа y'=f(x)

        dy/dx=f(х) ,        dx = f(x)dx

 Общее решение

y=∫f(x)dx=F(x)+C

Дифференциальное уравнение типа

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Практика
Размер файла:
308 Kb
Скачали:
0