Необходимое условие устойчивости линейных непрерывных систем. Критерий устойчивости Рауса. Критерий устойчивости Гурвица. Критерий устойчивости Льенара – Шипаро, страница 4

При изменении частоты  ω от 0 до  ∞  годограф Михайлова делает суммарный поворот:

Действительно, если все корни отрицательные и вещественные, причем выполняется необходимое условие устойчивости           , то                .

Если корни комплексно-сопряженные или чисто мнимые, то

                                                                                       и                                              ,

т.е. при нулевой частоте М(0) будет также положительным.

Для определения числа «правых» корней по виду годографа Михайлова с остальными «левыми» необходимо воспользоваться принципом аргумента, на основании которого при k корнях D(p) с положительной вещественной частью справедливо равенство:

 

Из данного выражения можно определить количество квадрантов, которые последовательно обошел годограф А.В. Михайлова нигде не обращаясь в начало координат при изменении частоты                       

                .

Количество квадрантов q, которые последовательно обошел годограф А.В. Михайлова нигде не обращаясь в начало координат при изменении частоты                :

 

 Отсюда количество «правых» корней характеристического уравнения равно:                   .

    При наличии одного или несколько нулевых корней становится справедливым следующее выражение для годографа Михайлова:                                                                              ,

где r - количество нулевых корней.

В результате чего при  последнее равенство обращается в 0, т.е                     и годограф Михайлова выходит из начала координат.

   Если САР находится на границе устойчивости, которой соответствует произведение

                                                                                                            ,

то на частоте равной величине β годограф Михайлова                            обратиться в 0, т.е. пройдет через начало координат.

     В итоге, при наличии во всех  корнях отрицательных вещественных частей годограф Михайлова при изменении частоты входного гармонического сигнала от 0 до ∞   последовательно против часовой стрелки обойдет п квадрантов:

Годографы Михайлова для устойчивой линейной системы с различными порядками D(p).

Годографы Михайлова неустойчивых САР

Годограф Михайлова нейтрально устойчивой САР при r = 1

и n = 5.

Годограф Михайлова в случае пары чисто мнимых корней.

В практических приложениях нет необходимости строить полную кривую Михайлова, а достаточно ограничиться лишь нахождением ее точек пересечения с координатными осями комплексной плоскости и определением соответствующих частот, для чего предварительно необходимо представить годограф в алгебраической форме функции комплексного переменного как

 

Если в результате расчетов численные значения частот получаются мнимыми, то это соответствует случаю, когда кривая не пересекает данную ось.

Пример. Определить устойчивость линейной непрерывной САР третьего порядка на основании частотного критерия А.В. Михайлова, характеристическое уравнение которой задано в следующем виде:

Годограф Михайлова описывается зависимостью:

Для определения частот, в которых происходит пересечение кривой Михайлова с вещественной осью, приравняем мнимую часть М(jw) к нулю:

Отбрасывая отрицательное значение, которое не входит в диапазон изменения частот                ,

окончательно получаем:           ,                 .

По аналогии, в точке пересечения годографа с мнимой осью, соответствующая частота находится как                                        

                                        , откуда                  .

Подставляя найденные величины w₁  и w₃  в P_M (w) , а ω₂ в Q_M (w) , строится годограф Михайлова, причем если выполняется неравенство вида                    , то исследуемая линейная САР будет устойчивой.