Матрицы и их применение. Действия над матрицами

Страницы работы

Фрагмент текста работы

концу первого вектора надо приставить начало второго; тогда суммой будет служить замыкаю­щий вектор, т. е. идущий от начала первого в конец второго рис. 142. Если теперь к этой сумме требуется прибавить некоторый третий вектор, то его надо приставить к концу второго вектора и взять замыкающий и т. д.

             

Общее правило сложения любого числа векторов проиллюстрировано на рис. 143.

   

Из рис. 144 вытекает, что справедлив сочетательный закон а + (b + с) = (а + Ь) + с, который вместе с переместительным законом показывает, что при сложении любого числа слагаемых их порядок и расстановка скобок несуще­ственны, например:

(a + b) + (c + d) = [(b + d) + c] + a = [c + (a + d)] + b ит.п.

Подчеркнем, что сложение векторов различной размерности, а также сложение вектора и скаляра невозможны] кроме того, в нашем курсе векторы не сравниваются друг с другом — не будет положительных и отрицательных векторов, неравенств вида а>b и т. д. Конечно, модули (длины) векторов сравнивать друг с дру­гом можно, но не следует удивляться, если модуль суммы векторов окажется меньшим, например, чем модули каждого из слагаемых: ведь векторы складываются не как числа, а как силы, и может оказаться, что равнодействующая нескольких сил окажется меньше, чем каждая из этих сил.

            Заметим в заключение следствие из рис. 143:

| a + b + c + d | ≤ | a | + | b | + | c | + | d |;

при этом равенство получится, если все слагаемые векторы одина­ково направлены; тогда, если их приставить один к другому, они будут продолжать друг друга по прямой.

            1. При сложении векторов их координаты склады­ваются, т. е. если а = а1 + а2, то X = X1 + Л2, Y = Y1 + К2, Z = Z1 + Z2.

2. Аналитическое правило для вычитания векторов: если а = а1 а2, то X = X1 Л2, Y = Y1 К2, Z = Z1Z2

            3. При умножении вектора на число все координа­ты множатся на то же число, т. е. Если m2 = λm1, то Х2 = λХ1, Y2 = λY1, Z2 = λZ2.

            Если векторы a11, Y1, Z1,}, a22, Y2, Z2,}, коллинеарны, то их соответственные координаты пропорцио­нальны:

Х2 : X1 = Y2 : Y1 = Z2 : Z1     (1)

и обратно.

            Если коэффициент пропорциональности положителен, то векторы а1и а2 равнонаправлены;если отрицателен — противоположно направлены. Абсо­лютное значение λ выражает отношение длин | а2 | : | а1 |.

            Замечание. Если одна из координат вектора а1 равна нулю, то пропорцию (1) надо понимать в том смысле, что соответствующая координата вектора а2 тоже равна нулю.

            Три вектора (или большее число) называются компла­нарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.

            Если хотя бы один из трех векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности см. в §§ 116,  120.

Модуль – длина вектора а {X, У, Z} выражается через его ко­ординаты формулой

| а | =                                   (1)

Расстояние dмежду точками А1 (x1; y1; z1;);       A2 2; y2; z2;) представляется формулой

d =(2)

Она получается из (1) в силу формул (2) .

Пример 2. Расстояние между   точками А1 (8;— 3; 8), A2 (6; -1; 9) есть

d =.

Угол между осью координат и вектором.

Углы(черт. 149), образуемые положительными направлениями OX, OY, OZс вектором а {X,Y,Z}, можно найти по формулам (Из прямоугольного треугольника OMR имеем: ).

(1)

 (2)  (3)

Если вектор a имеет длину, равную единице масштаба, т.е. если | а | = 1, то

Из (1),(2),(3) следует: 

(4)

Аналогично получаются формулы (1) и (2).

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение: abили аb.

Согласно определению

ab= | а | • | b| cos().        (1)

В силу теоремы 2  | b | cos() = праb, так что вместо (1) можно написать:

Похожие материалы

Информация о работе