Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях: Методические указания к выполнению расчётно-графической работы, страница 5

            (А).

На основании законов коммутации имеем:

       .                            (1)

1.2. После первой коммутации (ключ К₃₃ разомкнулся) электрическая цепь принимает вид, показанный на рисунке 7.

            

        Рисунок 7 – Схема цепи после первой коммутации

Режим работы цепи после первой коммутации опишется уравнениями по законам Кирхгофа:

                                                                      (2)

Или с учётом компонентных соотношений для элементов:

                                                        (2^/ )

1.3. Для  цепи  после коммутации (рисунок 7) получим характеристическое  уравнение.  Для этого составим  входное операторное сопротивление цепи относительно любой ветви (например, для второй ветви) и приравняем его нулю:

После подстановки числовых значений параметров элементов цепи получаем характеристическое уравнение цепи:

                   ;

или                       .

1.4. Находим корни характеристического уравнения.

                         (3)

Корни комплексные сопряжённыё, т.е. переходный процесс после первой коммутации  периодический. Здесь:  – коэффициент затухания, –  частота затухающих колебаний. 

1.5. Рассматриваем установившийся режим после коммутации и   находим принуждённые (установившиеся) составляющие токов ветвей и напряжения ёмкости. Так  как в этом режиме токи и напряжения постоянные, то напряжение  индуктивности и ток ветви с ёмкостью равны нулю (рисунок 8). 

             

        Рисунок 8 – Установившийся режим цепи после первой коммутации

                           (4)

1.6. Находим зависимые начальные условия (граничные условия в момент коммутации). Для этого запишем уравнения для цепи после      коммутации (2, 2^/) для момента коммутации t = 0:

                         

Решив полученную систему уравнений с учётом известных независимых  начальных условий (1), найдём зависимые начальные условия:

                                                   (5)

Для нахождения начальных значений производных токов продифференцируем систему уравнений для цепи (2^/) и запишем полученные  уравнения для момента коммутации (t = 0):

                         

Решив полученную систему уравнений с учётом известных начальных условий (1, 5), найдём начальные значения первых производных      токов:

                                              (6)        

1.7. Определим закон изменения искомого тока после первой     коммутации.

           

Для определения постоянных интегрирования имеем систему    уравнений (с учётом найденных начальных значений):

       

Решение системы уравнений:

               

Закон изменения искомого тока после первой коммутации:

.                       (7)

1.8. Определим закон изменения тока в ветви с индуктивностью   после первой коммутации.

          

Для определения постоянных интегрирования имеем систему    уравнений:

               

Решение системы уравнений:

                 

Закон изменения  тока в индуктивности после первой коммутации:

           .                        (8)

1.9. Определим закон изменения напряжения ёмкости после первой коммутации.

Для определения постоянных интегрирования имеем систему    уравнений (с учётом найденных начальных значений):

            

Решение системы уравнений:

                  

Закон изменения напряжения ёмкости после первой коммутации:

           .                 (9)

2. РАСЧЁТ ВТОРОЙ КОММУТАЦИИ (ключ К₂₁ замыкается).

2.1. Вторая коммутация происходит, когда после первой коммутации процесс ещё не установился. Независимыми начальными условиями для второй коммутации будут: ток ветви с индуктивностью и напряжение  ёмкости к моменту второй коммутации. Срабатывание второго ключа   происходит при . Так как после первой коммутации переходный   процесс – периодический (колебательный), то момент второй коммутации определится:

   .

Ток ветви с индуктивностью и напряжение  ёмкости к моменту   второй коммутации будут равны: