Уширение спектральных линий (Глава 1 учебного пособия)

1. Уширение спектральных линий

1.1. Оценки атомарных значений

Анализ взаимодействия излучения с веществом целесообразно начать с оценок вероятностей электродинамических процессов. Точные вычисления этих вероятностей сложны и требуют использования аппарата квантовой электродинамики, чего мы делать не будем.

Основным параметром в оценках является постоянная тонкой структуры [1]

.

С ее помощью устанавливается связь между тремя основными размерами:  — боровский радиус,  - комптоновская длина и  - классический радиус электрона.

При локализации частицы на масштабе  из соотношения неопределенности для ее энергии получим оценку , т.е. необходимо переходить к учету релятивистских эффектов.

Размер водородоподобного атома с ядром заряда Z равен

.

Скорость электрона в атоме

,

т.е. релятивистские эффекты необходимо учитывать при . Энергия связи

При переходе электрона с уровня с главным квантовым числом  на  излучается фотон с частотой

того же порядка, что и классическая частота обращения электрона на орбите

.

При этом длина волны излучения оказывается существенно больше размеров атома:

 при .

1.2. Естественная ширина линии

Интенсивность дипольного излучения электрона в единицу времени можно оценить по классической формуле:

Для осциллятора с частотой  вероятность перехода в единицу времени

                                        (1.1)

Время жизни осциллятора в возбужденном состоянии

т.е. один квант излучается за периодов колебаний. Учитывая, что  для  резонансных переходов в основное состояние, получим

Ширина уровня с испусканием кванта с энергией  с учетом (1.1) равна

т.е.

Предельная длина светового цуга, т.е. длина когерентности,

Учитывая, что как , так и  зависят от Z, то можно получить связь между временем жизни  и частотой излучаемого кванта, которую обычно наблюдают в экспериментах

                                   (1.2)

при  получим Данная формула описывает любые, в том числе и нерезонансные, переходы.

Таким образом, возбужденные состояния распадаются. Число атомов в возбужденном состоянии описывается законом распада  или . Вероятность излучения в единицу времени для каждого атома, находящегося в возбужденном состоянии вплоть до времени t, равна

Подобная зависимость волновой функции от времени получается, если энергия уровня [2,3]

 и

В этом случае излучение не будет чисто гармоническим. Предполагая, что  при t < 0, т.е. атом не был возбужден, и   при  из формул преобразований Фурье получим:

Отсюда вероятность излучения, отнесенная к единичному интервалу частот,

Учитывая, что интенсивность излучения и полагая значение  - в центре линии, получим

                                   (1.3)

Именно такое распределение интенсивности наблюдается при регистрации отдельных переходов спектральными приборами. Естественной шириной линии считается отклонение частоты от , на котором интенсивность уменьшается в 2 раза, т.е

Если с уровня k возможно несколько переходов на нижележащие уровни i, то вероятности переходов складываются:  где - полная вероятность, - время жизни k-ого уровня. Расширение энергетических уровней приводит к расширению спектральных линий, возникающих при переходе между ними. Так, если ширина верхнего и нижнего уровней  и , то ширина перехода  равна   и распределение спектральной интенсивности

                                 (1.4)

Поскольку ширина линии определяется суммой уширений ее начального и конечного уровней, то не существует простого соотношения между шириной линии и ее интенсивностью.

Пусть вероятность перехода  велика, а  и  мала (рис 1). В соответствии с этим уровень 2­ – размыт, а уровень 3 – узкий. Линия 2 → 1 будет широкой и интенсивной. Линия 3 → 2 будет еще более широкой (), однако слабой, менее интенсивной и, наконец, линия 3 → 1 будет узкой и слабой.

1.3. Допплеровская ширина линий

Если атомы участвуют в движении, то частота наблюдаемого света изменяется за счет эффекта Допплера .

Излучение , приходящееся на интервал частот ,  пропорционально числу частиц с такой скоростью , что излучаемая ими частота  приходится на данный интервал. Из

и

                               (1.5)

получим

                       (1.6)

или

Ширина

Оценки показывают, что в естественных условиях

что в 40 раз больше собственной ширины линии

Явление Допплера и естественное затухание – независимые друг от друга причины уширения. Поэтому реальный контур линии определяется как результат действия обоих факторов [3]:

                                         (1.7)

где

1.4. Ударное уширение спектральной линии

Расширение линии, вызванное взаимодействием между атомами, рассмотрим на примере простейшей теориии Лоренца [3]. Будем предполагать, что время  между двумя столкновениями значительно меньше времени жизни атома  в возбужденном состоянии. Учитывая, что немонохроматичность волны, опредяемая , равна  получим, что набег фазы за время между двумя столкновениями обусловленный естественным уширением: , и можно считать, что в течение излучается монохороматическая волна. Следовательно, энергия электрона и волновая функция при  и при  и , где и  - моменты времени между столкновениями.

Предполагаем, что после столкновения электрон полностью «забывает» о своем предыдущем состоянии. Распределение по частотам определяется интегралом Фурье:

                          (1.8)

Тогда вероятность излучения в единицу времени частоты  при времени пробега  равна

                           (1.9)

Распределение атомов по временам пробега описывается выражением

где  - среднее время свободного пробега. Тогда средняя величина вероятности излучения равна

                       (1.10)

Отсюда для интенсивности излучения получим

                                         (1.11)

Ширина спектральной линии  Частота столкновений равна  при нормальных условиях газа  Учитывая, что естественный и лоренцовский контуры описываются одинаково, то их суммарный контур может быть представлен в виде

                               (1.12)

где