Другие предметы \ Основы механики сплошной среды

Уточнение моделей переноса. Диффузия в смеси двух газов. Теплопроводность, страница 3

(6.31).

Аналогично, для частиц покидающих фазовый объем в результате столкновений получим выражение потока

(6.32).

Тогда столкновительный член запишется

или с учетом того, что

(6.33).

Уравнение (6.29) со столкновительным членом (6.33) называется кинетическим уравнением Больцмана. Оно описывает процесс перехода системы из неравновесного состояния в равновесное, является нелинейным интегродифференциальным уравнением и в общем случае решение его не найдено. Заметим, что равновесная функция распределения Максвелла-Больцмана является решением уравнения (6.29) при (она обращает столкновительный член в нуль). Известные решения уравнения Больцмана получены только для случаев, когда функция распределения мало отклоняется от равновесной, т. е. в предположении малости параметров, приводящих к отклонению системы от состояния равновесия. В этом случае искомую функцию представляют в виде:

(6.34),

где малая величина. Подставляя (6.34) в (6.33) и далее в (6.29), с точностью до малых первого порядка будем иметь

(6.35).

Это уже линейное интегродифференциальное уравнение и имются методы его решения. В качестве примера рассмотрим еще более упрощенную модель, когда функция распределения мало отличается от равновесной и столкновительный член представляется в виде , где время релаксации – время, в течении которого система приходит в состояние равновесия. Эта модель получила название “ приближение”. Из опыта известно, что в газе достаточно нескольких столкновений чтобы установилась Максвелловская функция распределения по скоростям и следовательно , где средняя частота столкновений.

Проиллюстрируем использование этого приближения на примере стационарной плазмы при наличии малого градиента температуры. Совместим ось х с направлением градиента температуры, тогда уравнение Больцмана в приближении для электронной функции распределения есть

(6.36). Здесь собственное электрическое поле, связанное с наличием градиента температуры и имеющее тот же порядок малости. Поскольку , где . Тогда и из (6.36) получаем

(6.37).

, где малый параметр и представим искомую функцию распределения в виде разложения по этому малому параметру

(6.38).

Подставим разложение (6.38) в (6.37) и с точностью до малых второго порядка получим

(6.39).

Возьмем в качестве функцию распределения Максвелла , где приняты обозначения: . Тогда и искомая функция распределения примет вид

(6.40).

Определим плотность электрического тока и поток тепла

(6.41).

(6.42).

После подстановки (6.40) в (6.41) и (6.42) получим

(6.43),

(6.44),

где

(6.45).

Коэффициенты называются коэффициентами взаимности Онзагера. Непосредственные вычисления (6.45) дают

(6.46).

Из (6.43) следует, что коэффициент , стоящий перед напряженностью электрического поля , есть проводимость плазмы , что с учетом совпадает с полученным ранее выражением (4.38).