Степени свободы и обобщенные координаты

Страницы работы

8 страниц (Word-файл)

Содержание работы

     Лекция №3

Степени свободы и обобщенные координаты.

            Рассмотрим движение материальной точки в декартовом пространстве. Для полного описания движения точки потребуется задать координаты x = x(t), y = y(t), z = z(t).  Число независимых переменных, необходимых для описания движения в этом случае равно трем. Говорят, что система обладает тремя «степенями свободы», понимая под этим термином минимальное число независимых переменных, необходимых для описания эволюции системы. Допустим, что движение материальной точки происходит по заданной поверхности – ограничено заданной поверхностью. Поскольку поверхностные координаты определены как функция  z = z(x,y) или  f(x,y,z) = 0 независимыми из трех являются только две. Говорят, что на 3-х мерное движение наложена одна кинематическая связь. Движение по поверхности  z = z(x,y) обладает двумя степенями свободы. Аналогично, уравнение некоторой криволинейной пространственной траектории определяется наложением двух связей. В этом случае движение обладает одной степенью свободы. Координаты вдоль кривой можно определить как функции одной переменной – расстояния пройденного вдоль траектории, отсчитываемого от наперед заданной точки.

            Подобные рассуждения справедливы при описании движений в сферических  r, q, j ; цилиндрических z, q, j  координатах (см. рис.). Всякий раз описание свободного движения требует применения 3-х независимых переменных.

Пример. Сколько степеней свободы у гантельки – 2-х материальных точек, соединенных жестким невесомым стержнем длины l.? Пусть концы стержня обозначены т. A, B. Соответственно xA, yA, zA -  координаты одного из концов, xB, yB, zB  - координаты другого. Учитывая неизменность длины стержня напишем:  (xA - xB )2 + (yA - yB )2 + (zA - zB )2 = l2= const.  Следовательно из 6-и переменных остается 5 независимых, следовательно имеется 5 степеней свободы.

            В общем случае для описания движения N частиц следовало бы потребовать 3N переменных, однако, если наложено f связей, то система обладает S степенями свободы -

S = 3N – f . Числом степеней свободы называется минимальное число независимых переменных необходимых для описания движения системы.

            Существуют движения, которые наиболее просто задаются вовсе не в декартовом пространстве, а возможно,  в результате ведения каких либо других координат. Назовем вновь введенные из соображений удобства и полноты описания координаты q1, q2, q3, …, qn – обобщенными. В таком случае dq1/ dt, dq2/ dt, dq3/ dt,…, dqn/ dt, - обобщенные скорости.

Пример. Для описания движение частицы по окружности вместо плоских декартовых координат достаточно задать единственную переменную – угол относительно выбранного направления j = j (t). Следовательно обобщенной координатой является угол,  q = j , обобщенная скорость

dq/ dt= dj /dt=w - угловая скорость.

Динамика

            Связь силы и движения.

Почему тела движутся? Что приводит тела в движение, почему движение прекращается?

Согласно Аристотелю для поддержания движения, для сохранения неизменной скорости необходима сила. Его рассуждения в конечном итоге сводились к утве6рждению F ~ v. Чем больше сила, тем больше скорость. Естественным состоянием по Аристотелю считается покой.

            Галилей сумел понять, что напротив, если исключить все силы, в частности силы трения, движение будет продолжаться с неизменной скоростью сколь угодно долго. Галилей сумел построить идеализированную модель, в которой учитываются наиболее существенные характеристики явления. Подход сформулированный Галилеем более продуктивен, т.к. дает возможность объяснения более широкого класса явлений.

Наконец, Иссаком Ньютоном в «Математических началах натуральной философии» 1687г. сформулирован закон инерции, впоследствии названный его именем – I-м законом Ньютона. «Всякое тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения до тех пор, пока действующие на него силы не выведут его из этого состояния»

Принцип относительности Галилея.

            Можно ли считать одну, какую – либо единственную систему отсчета  из множества систем отсчета абсолютной и тогда измерять движение либо тел, либо иных систем отсчета относительно этой абсолютной. Если бы удалось определить такую систему отсчета, то картина мира обладала почти законченным совершенством. Галилей понял, что таковой системы отсчета нет. Можно предположить, что в нашем обыденном опыте таковой абсолютной системой является система отсчета, связанная с горячо любимым самим собой. Допустим, что абсолютная система отсчета, связана с гениальным человеком по имени Вася, стоящим на станции. Вместе с «неподвижным» Васей покоится памятник на привокзальной площади, рельсы, чрезвычайно далекая Америка вместе с истребляемым индейским народом. Предположим вопреки здравому смыслу, что абсолютная система связана с машинистом поезда. В таком случае Земля начала двигаться по воле машиниста. В это трудно поверить, хотя бы потому, что вагон существенно меньше Земли.

            Многочисленные опыты и анализ результатов позволили сформулировать строгое научное решение этой проблемы. Все инерциальные системы отсчета равноправны.

Принцип относительности.

            Ранее мы сформулировали закон инерции – всякое свободное движение равномерно и прямолинейно. Т.е. движение, освобожденное от внешних сил будет происходить с постоянной скоростью. В движущейся с постоянной скоростью относительно тела  А системе отсчета В также постоянна и, следовательно, выполняется закон инерции. Итак, все движущиеся с постоянными скоростями относительно друг друга системы отсчета равноправны.

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Механика
Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
207 Kb
Скачали:
0