Стационарный пограничный слой на пластине в газовом потоке

7. СТАЦИОНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ

В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ

В данном разделе будет рассмотрена задача о продольном обтекании пластины потоком газа при достаточно больших числах Рейнольдса и любых числах Маха, для которых газ можно считать сплошной средой, а коэффициенты теплоемкости постоянными. Мы будем рассматривать некоторый  гипотетический газ, для которого вязкость линейно зависит от температуры, а число Прандтля равно единице (впрочем, близкий по своим свойствам к воздуху, для которого m » T^0,75, Pr = 0,72).

Обратимся к системе уравнений (4.14). Перепишем ее в безразмерном виде, сделав некоторые упрощения в связи с рассматриваемой задачей.

          1. Положим dP/dx = 0.

          2. Введем понятие энтальпии h = C_pT и полной энтальпии  h₀ = h + u²/2.

          3. В качестве линейного размера вдоль x примем L; вдоль y - .

          4. За характерную скорость вдоль x возьмем V, вдоль y - .

          5. За масштаб давления выберем , а за масштаб энтальпии – .

          6. Число Pr будем считать постоянным, т.е. m/m^* = k/k^*.

Тогда систему (4.14) можно записать в безразмерном виде:

                     (7.1)

Граничные условия на скорость будут иметь вид

                                         u(0) = v(0) = 0,   u(¥) = 1.

Граничные условия на температуру могут быть двух родов:

          а) задана энтальпия на поверхности

                                                   h(0) = h_w,   h(¥) = 1.

          б) условие отсутствия теплоотдачи с поверхности пластины (теплоизолированная пластина)

                                            при    y = 0,   h(¥) = 1.

7.1. Распределение скорости

А.А. Дородницын (1942) указал общее преобразование координат, приводящее первые два уравнения системы (7.1) к форме, совпадающей с задачей Блазиуса. Это преобразование имеет вид

   ,                                              (7.2)

где P₀ и r₀ - параметры торможения (P и r в (7.2) размерные). Для плоской пластины вместо P₀ и r₀ возьмем их значения на границе пограничного слоя, тогда преобразования Дородницына будут иметь вид

,       .                                                 (7.3)

Перейдем в первом уравнении системы (7.1) к новым переменным с учетом  уравнения состояния и закона для вязкости (последние два равенства в (7.1). Получим

                                     (7.4)

Уравнение неразрывности позволяет ввести функцию тока y, удовлетворяющую равенствам

                                   (7.5)

Обозначим

;   ,                                       (7.6)

то есть u и удовлетворяют уравнению неразрывности. Тогда для n = 1 из (7.4) и (7.6) можно составить следующие уравнения:

                                           (7.7)

По форме записи уравнения (7.7) совпадают с задачей Блазиуса, т.е. в переменных (x, h) распределение скорости будет соответствовать уже решенной задаче об обтекании плоской пластины несжимаемым потоком.

7.2. Интеграл Крокко

Рассмотрим теперь уравнение энергии в системе (7.1). Для числа Pr = 1 оно примет вид

                                      (7.8)

Уравнение (7.8) по форме записи совпадает с первым уравнением системы (7.1). Из этого следует существование очевидного частного интеграла

                                                    (7.9)

Или, переходя к безразмерной  температуре, получим

                                    (7.10)

здесь М – число Маха на границе пограничного слоя. Постоянные  и b определяются из граничных условий

T(0) = T_w,    T(¥) = 1.                                               (7.11)

Подстановка констант в (7.10) дает квадратичную связь между температурой и скоростью, которая носит имя интеграла Крокко

                       (7.12)

Для теплоизолированной поверхности должно выполняется условие при y = 0. Из этого условия следует, что

                                          (7.13)

Для течения газа с Pr = 1 температура теплоизолированной поверхности равна температуре торможения. Хорошее приближение для реальных газов дает  модифицированный интеграл Крокко

                     (7.14)

где r - коэффициент восстановления. Тогда температура теплоизолированной пластины в потоке  реального газа будет

                                                                                           (7.15)

Для ламинарного течения  (для турбулентного течения ).

Интеграл Крокко (7.12) и распределение скорости Блазиуса позволяет восстановить в физических переменных профили скорости и температуры в пограничном слое пластины для заданного числа Маха. Для этого сначала запишем распределение температуры в переменных Дородницына, подставив профиль Блазиуса u(h) в выражение (7.12). Мы получим распределение T(h). Затем вычисляем интеграл, который следует из (7.3)

                                                (7.16)

Результаты вычисления дают связь переменных y и h, что позволяет выразить скорость в зависимости от физической координаты y, а затем, опять используя (7.12), получить зависимость T(y).