Релятивистская кинематика. Аберрация. Алгебра 4-х векторов. Четырехмерная скорость

Лекция 11.

Релятивистская кинематика.

Аберрация.

Пусть в системе  движется частица со скоростью  под углом  к оси .  Определим, под каким углом   к оси  движется частица в системе отсчета  .

В системе отсчета  проекции скоростей частицы на  оси  соответственно:

. Применяя формулы преобразования скоростей, имеем:

                     (1)

Откуда:

.                                        (2)

В предельном случае  - распространение светового фронта в обеих системах отсчета  происходит со скоростью , находим:

                      (3)

Формулы (3) описывают явление световой аберрации. Преобразование угла  как функции  получается из (3) заменой . Выпишем полученные зависимости:

                      (4)

Исследуем полученные выражения. На космическом корабле имеется «прожектор», излучающий свет, например, в переднюю полусферу: . Согласно (3):

Если движение корабля происходит с ультрарелятивистскими скоростями: , то  - свет, излученный в переднюю полусферу в системе корабля соберется в узкий световой конус  в неподвижной системе отсчета . Этот эффект называется эффектом «фары». Отметим, что:   - свет, излученный в заднюю полусферу в системе отсчета  ,  распределяется за пределами узкого светового конуса с углом раствора  в системе отсчета  .

            Явление аберрации искажает картину звездного неба, наблюдаемого в релятивистском космическом корабле. Согласно формулам (4) с точки зрения космического наблюдателя свет от удаленных источников движется со скоростью . Допустим, что в неподвижной системе отсчета   свет от удаленного источника падает на корабль под углом  относительно направления скорости корабля. В системе корабля -  угол, под которым будет наблюдаться световой пучок:

                                 (5)

Если угол  меняется в диапазоне от  до  - рассматривается передняя полусфера звездного неба,  то .  Вся звездная полусфера будет рассматриваться наблюдателем в корабле в угле  .

Впервые экспериментально аберрацию света от удаленных звезд наблюдал Д. Бредли (1725). Он обнаружил, что звезда  Дракона, находящаяся практически в Земном зените совершает сезонное движение с периодом в один год по круговой траектории с диаметром 40,5 дуговых секунд.  Согласно (4) при  и  .  Орбитальная скорость Земли составляет . В дуговых секундах .

Аберрацию легко понять, применив аналогию между распространением света и падением дождевых капель. В отсутствии ветра дождевые капли падают на неподвижного человека вертикально, если человек движется, то дождевые капли падают под некоторым углом относительно вертикали.

Алгебра  4-х векторов.

            Назовем четверку чисел расположенных в порядке  4-х вектором события. В 4-х векторе  принято называть 0-ю компоненту  временной, а 1, 2, 3-ю компоненты пространственными . Ранее получены Лоренцевы преобразования координат и времени при переходе из систем отсчета  в  и обратные. Другими словами формулы преобразования определяют соотношения между 4-х векторами событий в различных системах отсчета. Удобно записать эти преобразования в матричной форме. Считая любой 4-х вектор события вектором – столбцом нетрудно представить линейное преобразование координат как перемножение матрицы  коэффициентов на вектор - столбец события:

.

Используя правила перемножения матриц имеем:

                              (6).

Здесь , всюду далее обозначаем  . В матричной записи преобразований предполагается, что . Обычно знак суммирования по повторяющемуся индексу опускают, предыдущая запись равносильно выглядит как: .  Обратное преобразование от компонент  4-х вектора события  к компонентам  , как нетрудно получить будет записываться в форме: , где  элементы обратной матрицы. Очевидно, что  - дает единичную матрицу, матрицу у которой на главной диагонали стоят 1. В матице обратного преобразования  произведена замена . Окончательный вид обратного преобразования имеет вид:

                                (7)

Непосредственным перемножением  из (6) на  из нетрудно убедиться, что .

            Любая четверка чисел  преобразующихся по закону  (7) -преобразования компонент 4-х вектора  события называется 4-х вектором.

            Введенный подобным образом объект –4-х вектор подчиняется правилам векторной алгебры.

Сложение 2-х  4-х векторов выполняется по правилу: если  -  4-х вектора, то .

Определим скалярное произведение 4-х векторов следующим правилом. Пусть . Назовем скалярным произведением величину:

                           (8)

Наиболее важным свойством скалярного произведения векторов является его инвариантность. Инвариантность (от лат. invariantis – неизменяющийся) означает сохранение величины скалярного произведения в различных системах отсчета. В релятивистской кинематике следует убедиться в неизменности скалярного произведения в случае Лоренцева преобразования компонент векторов. Прямой подстановкой компонент  , выраженных через  согласно формулам (7)  нетрудно убедиться, что: