Релятивистская кинематика. Аберрация. Алгебра 4-х векторов. Четырехмерная скорость, страница 2

.           (9)

Говорят, что определенное таким образом скалярное произведение 4-х векторов является инвариантом преобразования Лоренца.

            Легко показать также, что:

                              (10)

Интервал.

            Рассмотрим два события, которые заданы 4-х векторами  и  . Назовем интервалом между событиями , по аналогии с эвклидовым, 3-х мерным пространством, корень квадратный из  квадрата разности меду 4-х векторами событий:

                  (11)

Инвариантность интервала очевидна из (10). Если события бесконечно близки друг к другу, то:

                                  (12)

Пусть  два события произошедшие в некоторой системе отсчета  . Существует ли такая система отсчета  в которой оба эти события произошли бы в одной точке – одноместны. Действительно:

.

Полагая  - события в  одноместны имеем:. . Следовательно, система отсчета с требуемым свойством существует, если , иначе говоря интервал между событиями вещественный. Такие интервалы называются времениподобными. Если интервал времениподобен, то существует такая система отсчета, в которой оба события произошли в одной пространственной точке. Время, которое прошло между событиями в этой системе отсчета: . Если какие либо два события происходят с одной и той – же частицей, то интервал между ними всегда времениподобный.  В самом деле, путь, который проходит частица, не может превысить , поскольку скорость частицы не может быть больше . Поэтому всегда для вещественности интервала . Подобные события являются причинно – связанными, т.к.  . Частица переместилась в пространстве со скоростью .

            Зададимся вопросом: существует ли такая система отсчета, в которой два события происходят в одно и то – же время, одновременны. Из инвариантности интервала в  :

.

Полагая  получаем, что:

.

Искомая система отсчета существует, если интервал между событиями мнимый. Мнимые интервалы называются пространственноподобными. Если интервал между событиями пространственноподобный, то существует система отсчета, в которой эти события одновременны. Пространственное расстояние между точками, в которых произошли события в этой системе отсчета равно:

Подразделение интервалов на времениподобные и пространственноподобные свойство абсолютное, т.к. в силу инвариантности интервалов из значения не зависит от выбора системы отсчета.

Собственное время.

            Рассмотрим два события произошедшие бесконечно близко в пространстве и времени в системе отсчета .  Согласно (12):

                         (13)

Допустим, что интервал времениподобен . В этом случае существует система отсчета, в которой события одноместны,  . Будем предполагать, что время этих событий фиксируется покоящимися в этой пространственной точке часами. Тогда:

.

 называется собственным временем. Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с заданным объектом, называется, по смыслу, собственным. В силу инвариантности интервала:

.

Считая, что пространственный сдвиг одной системы отсчета относительно другой произошел на , (т.к. события причинно – связанны) находим:

.                                (14)

В этом выражении  - скорость движущихся часов. Из (14) следует:

                                 (15)

Формула (15) выражает собственное время через время по часам системы отсчета, относительно которой рассматривается движение. Как видно из (15) собственное время движущейся частицы всегда меньше, чем соответствующий интервал времени по часам неподвижной системы. Другими словами движущиеся часы идут медленнее, чем неподвижные.

            Эффект сокращения времени нами получен ранее Подчеркнем, что настоящий вывод основан на  инвариантности интервала:  .

Четырехмерная скорость.

По аналогии с 3-х мерной скоростью, определенной в эвклидовом пространстве, образуем 4-х мерный вектор скорости. Для этого продифференцируем 4-х вектор события по некоторой скалярной величине, что существенно, инвариантной относительно преобразований Лоренца. Нетрудно установить, что таковым скаляром, обладающим нужными свойствами является интервал. Итак, назовем четырехмерной скоростью:

                                         (16)

Для определения компонент  учитываем, что: , где  обычная 3-х мерная скорость частицы. Подставляя  в (16) находим:

                   (17)

Отметим, что 4-х скорость – величина безразмерная. Подсчитаем квадрат 4-х скорости.

По правилу вычисления скалярного произведения:

                                            (18).

Квадрат 4-х скорости, как и следовало ожидать, является инвариантом относительно преобразований Лоренца.