Простейшие свойства внутренних сил системы. Дифференциальные уравнения движения системы

§3.4 Простейшие свойства внутренних сил системы

            Механической системой называется любая совокупность материальных точек.

            Внешними силами материальной системы называются силы, с которыми  действуют на точки системы тела и точки, не входящие в рассматриваемую систему, будем их обозначать .

            Внутренними силами материальной системы называют силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы, мы их будем обозначать .

            Внутренние и внешние силы могут включать в себя как активные силы, так и реакции связей.

          Пусть система состоит из n точек. Тогда по третьему закону Ньютона, например для точек 1 и 2, внутренние силы взаимодействия этих точек равны по величине и противоположны по направлению:

Равнодействующая внутренних сил состоит из векторной суммы сил действия и противодействия, которая равна нулю:

.

          Если рассмотреть сумму моментов сил  и  относительно некоторой произвольной точки О, то легко видеть, что

т.к. обе силы имеют одинаковые плечи h и противоположные направления векторных моментов. Главный момент внутренних сил относительно точки О состоит из векторной суммы этих моментов внутренних сил:

§3.5 Дифференциальные уравнения движения системы

            Если к каждой точке системы приложить равнодействующую силу внешних сил  и равнодействующую силу всех внутренних сил , то для любой к-ой точки системы можно составить дифференциальное уравнение движения в виде второго закона Ньютона:

            Систему этих уравнений называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме. Если спроектировать их на оси координат, то получим 3n скалярных дифференциальных уравнения.

            Мы видели, с какими трудностями приходится сталкиваться при интегрировании дифференциального уравнения движения точки, если сила зависит от времени, положения или скорости. Здесь же мы имеем систему уравнений и трудности неизмеримо возрастают. Поэтому особую роль в динамике системы материальных точек играют общие теоремы, позволяющие в отдельных случаях получить информацию о характере движения системы без выполнения трудоемкого интегрирования системы дифференциальных уравнений.

§3.6 Геометрические характеристики системы материальных точек. Моменты инерции. Теорема Штейнера. Эллипсоид инерции.

Рассмотрим точку О, прямую L и плоскость В, а также точки материальной системы (одна из них Ai с массой mi). Расстояния от точки Ai до точки О, прямой L и плоскости В обозначим через ri, Di и di соответственно.

Можно составить выражения:

            Суммирование распространено по всем точкам материальной системы. Эти выражения называются моментами инерции соответственно относительно плоскости В, прямой L и точки О.

            Аналитические выражения моментов инерции относительно основных координатных элементов связаны равенствами:

J_z=P_xz+P_zy,        m=P_zx+P_zy+P_xy

(Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме моментов инерции относительно двух ортогональных плоскостей, проходящих через эту ось. Момент инерции относительно точки равен сумме моментов инерции относительно трех ортогональных плоскостей, пересекающихся в этой точке.)

            Для сплошных тел суммы перейдут в интегралы:

Пример 1.

Для шара массы m, радиуса R (плотность ) имеем момент инерции шарового слоя текущего радиуса r толщины dr относительно центра: , а для всего шара (поскольку )

Теорема Штейнера

Проведем через центр масс материальной системы с координатами a,b,c оси x’,y’,z’ параллельно осям x,y,z. Тогда для любой точки системы xi=xi’+a, yi=yi’+b и момент инерции системы относительно оси z равен

            Второе и третье слагаемое равны нулю в силу того, что в системе отсчета, связанной с центром масс, , а в четвертом слагаемом a²+b²=d² (d – расстояние между осями z и z’). Первое слагаемое есть момент инерции системы относительно оси z’. Окончательно имеем:

,

то есть момент инерции относительно какой-либо оси z равен моменту инерции относительно параллельной и проходящей через центр масс оси z’ плюс Md², где d – расстояние между осями.

Следствие: Среди параллельных осей та проходит через центр масс, для которой момент инерции имеет наименьшее значение.

Аналогичное утверждение справедливо для плоскостей (моментов P).

Пример 2.

Рассмотрим однородный цилиндр массы M, радиуса R и высотой, равной 1. Записав момент инерции цилиндрического слоя радиуса r и толщиной dr относительно оси z0 и проинтегрировав от 0 до R получим:

по теореме Штейнера момент инерции цилиндра относительно оси z’ равен

Пример 3.

Поместим начало оси x, направленной влево, в правом конце стержня массы M и длины l. Записав момент инерции произвольного элемента dx, находящегося на расстоянии x от оси z’ (лежит в плоскости рисунка) и проинтегрировав по длине стержня получим:

по теореме Штейнера момент инерции стержня относительно оси z₀ равен

Пример 4. Определим момент инерции однородного эллипсоида с полуосями a,b,c относительно оси x, проходящей через центр эллипсоида. Эту задачу сведем к решенной ранее в этом параграфе задаче о моментах инерции однородного шара, используя тот факт, что преобразование x=ax’, y=by’, z=cz’ преобразует эллипсоид  в шар единичного радиуса.

Эллипсоид инерции

Рассмотрим систему точек mi с координатами xi,yi,zi. Возьмем луч, проходящий через точку О и имеющий направляющие косинусы a, b, g.   Di – расстояние i-ой точки до луча: или

            Отсюда момент инерции Jматериальной системы относительно луча (a,b,g) равен:

   (3.6.1),

 где