Принцип возможных перемещений. Уравнения равновесия с множителями (элементы аналитической статики), страница 2

            В положении равновесия должен также выполняться принцип возможных перемещений (1.11.2). Умножая каждое из s уравнений (1.11.3) на соответствующий неопределенный множитель l_j сложим их с (1.11.2):

            (1.11.4)

В этом соотношении 3n вариаций dx_i, dy_i, dz_i. Из них s-зависимые, а k=3n-s – независимые. Подберем s множителей l_j так, чтобы коэффициенты при s зависимых вариациях обращались в ноль. Этот подбор можно провести единственным образом, так как определитель из коэффициентов при зависимых вариациях в (1.11.3) отличен от нуля в силу того, что уравнения связей независимые.

            При таком выборе s множителей l_j в (1.11.4) останутся только вариации независимых переменных. Из-за произвольности последних и равенства нулю выражения (1.11.4) необходимо должны быть равны нулю коэффициенты и при этих вариациях. Таким образом, в положении равновесия механической системы должны обращаться в ноль все коэффициенты в (1.11.4):

            (1.11.5)

            Добавив к этим 3n уравнениям s уравнений связей, мы сможем определить 3n+s неизвестных: l_j (j=1,2…s) и x_i,y_i,z_i (i=1,2…n).

Пример 1. Рассмотрим полиспаст, одно из простейших механических устройств, которое давно известно человечеству, как и устройства вроде рычага и клина.

            С точки зрения аналитической статики полиспаст представляет собой механическую систему, состоящую из двух точек 1 и 2, к которым приложены силы P и Q, все прочее относится к реализации связи между этими двумя точками.

            Для нашего случая принцип возможных перемещений записывается так:

Pdp + Qdq = 0,

Здесь dp и dq – возможные перемещения точек 1 и 2, которые не являются независимыми. Легко установить соотношение dp = -6 dq и после подстановки в вышеприведенную формулу получить:

P = Q/6.

            Это означает, что с помощью приведенной на рисунке конструкции полиспаста для удержания в равновесии груза весом Q необходимо приложить в 6 раз меньшую силу P.

Пример 2. Рассмотрим гибкую однородную тонкую тяжелую нить, закрепленную в точках A и B, длина нити – l, линейная плотность - r.

l² > x²_B + y²_B

Рассмотрим элемент нити ds. Нить нерастяжимая, ds вдоль длины нити не меняется.

f º dx² + dy² + dz² – ds² = 0   (1.11.6)

          (1.11.6a)

На элемент ds действует внешняя сила тяжести F=grds, направленная вертикально вниз. Элементарная работа этой силы на возможном перемещении dy равна grdsdy.

Для всей нити, находящейся в положении равновесия, имеем принцип возможных перемещений:

Рассматриваем плоский случай параллельных сил тяжести, (1.11.6) принимает вид:

f ºdx² + dy² – ds² = 0

Отсюда можно получить

(1.11.7)

            Используем метод неопределенных множителей Лагранжа: разделим (1.11.7) на ds и умножим на множитель l(x,y).

   (1.11.8)

Перепишем это в виде:

            Интегрирование по частям и условия закрепления концов нити A и B дают:

            Мыслим здесь dy зависимой вариацией, а dx – независимой, тогда получаем:

          (1.11.9)

            Выясним смысл множителя l. Условие равновесия элемента ds в проекции на вертикальную ось имеет вид (см.рис.):

или, если учесть, что

 или (1.11.10)

            Сравнивая (1.11.9) и (1.11.10) видим, что T= - l, то есть условия равновесия нити выглядят следующим образом:

          (1.11.11)

            Из первого соотношения (1.11.11) следует, что .

            Тогда второе соотношение (1.11.11) можно переписать в виде:

 или ;          (1.11.12)

Учитывая (1.11.6a) и вводя обозначение Aºgra перепишем (1.11.12) в виде

            В итоге получаем дифференциальное уравнение

;           (1.11.13)

            Дважды интегрируя (1.11.13) получаем уравнение цепной линии

;         (1.11.14)

            Если ввести новые координаты x₁=x-x₀, y₁=y-y₀-a, то уравнение (1.11.14) принимает вид

 - уравнение гиперболического косинуса.

Из условий на концах нити A (x=0, y=0), B (x=x_B, y=y_B) и длины нити l можно получить