Непрерывность функции. Типы разрывов функции в точке

Глава 3. Непрерывность функции.

                     Число A называется пределом функции  в точке  справа (слева) и пишут   , если для любого  существует число  такое, что из условия   следует . Будем также предел справа (слева) обозначать  .

Пусть т.  из области определения функции . Функция  называется непрерывной в т. , если выполняется одно из следующих трех условий:

1);  2);

3).

Эти условия равносильные.

          Все основные элементарные функции непрерывны на своей естественной области определения.

          Сумма, разность, произведение, частное и композиция конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Функция  называется непрерывной на множестве E , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

Типы разрывов функции в точке.  а) Пусть существуют конечные пределы  и , причем  =, но не равны , либо  не определена. Тогда  называется точкой устранимого разрыва функции.

б) Пусть   и  существуют, конечны, но не равны между собой. Тогда в т.  у функции разрыв типа скачок. Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Во всех остальных случаях точка  есть точка разрыва второго рода, т.е. если хотя бы один из односторонних пределов равен  или не существует.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию .

Ñ Точками возможного разрыва являются  и . Вычислим односторонние пределы.

;  .

Следовательно, в т.  у функции разрыв устранимый, так как ,

; .

Тогда  и .

В точке   имеет разрыв второго рода.  #

Задачи для самостоятельного решения

Найти точки разрыва функции, определить их характер и построить схематично график функции в окрестности точек разрыва.

1..   2. и .   3..    4..   5..   6..   7..   8..

9. Функция  не определена в точке . Можно ли так доопределить функцию  в точке , чтобы функция стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции.

10. Исследовать характер разрыва функции  в точке . Можно ли так доопределить  при , чтобы функция стала непрерывной при ?

Исследовать на непрерывность функции. Сделать чертеж графика.

11.       12.     13.

14.

Ответы к задачам главы 3:

1. Функция  имеет в точке  разрыв второго рода (бесконечный,  в точке  также имеет бесконечный разрыв второго рода.

2. Функция  имеет в точке  устранимый разрыв,  - разрыв второго рода (бесконечный).

3. Если , то ; если , то . В точке  разрыв первого рода типа скачок.

4. В точке  разрыв второго рода. Предел  не существует при .

5. Функция имеет три точки разрыва. При  - разрыв устранимый, при - разрыв второго рода (бесконечный).

6. При  - разрыв второго рода (бесконечный).

7. При  - разрывы второго рода (бесконечные).

8. При  и - разрывы второго рода (бесконечные).

9. Нет. Если  справа, то , если  слева, то .

10. Нет. Если  справа, то , если  слева, то .

11. При  - разрыв первого рода (скачок).

12. При  - разрыв первого рода (скачок), в точке  функция непрерывна.

13. В точке функция непрерывна, в точке  - разрыв первого рода (скачок).

14. В точке - разрыв первого рода (скачок), в точке  функция непрерывна.