Нелинейная оптика (Глава 5 учебного пособия), страница 3

Используя координатную зависимость матричных элементов (4.3) в выражении для вероятности перехода (5.13) получим дополнительный множитель:

                       (5.14)

где осуществляется суммирование по координатам rи r' всех атомов, участвующих во взаимодействии. Суммирование по , зависит от формы пространственной области, где протекает нелинейный процесс.

Рассмотрим область объемом Vи ограниченную параллельными плоскостями, расположенными перпендикулярно направлению распространения при Z=0 и Z=L. Предположим, что размеры области в направлении x и у много больше Z. Тогда, заменяя в (5.14) суммирование интегрированием, получим

                  (5.15)

Здесь предполагалось, что пределы интегрирования по x и у являются достаточно большими для того, чтобы интегрирование привело к дельта-функции.

Суммирование по возможным значениям также сводится к интегралу

                          (5.16)

Индекс Z у  опущен, так как дельта-функции обращают остальные компоненты волнового вектора в нуль.

Рост квазистационарной интенсивности третьей гармоники  описывается уравнением

                                               (5.17)

где — полная скорость перехода с учетом всех участвующих атомов.

С учетом всего вышесказанного запишем выражение для интенсивности третьей гармоники, которое можно получить из (5.17) интегрированием по Zдля объема длиной L:

Напомним, что в данном случае N — полное число взаимодействующих атомов, расположенных в объеме V, и  оказывается пропорциональна квадрату плотности атомов. Кроме этого, . Зависимость  от длины путиопределяется тригонометрической функцией, которая имеет максимум при , так как. Это соответствует условию фазового согласования, или .

Отметим, что одновременно должно выполняться , т.е. должны быть равны показатели преломления , что обычно бывает трудно выполнить на практике. Наблюдение генерации третьей гармоники обычно проводится в экспериментах, в которых , и условия фазового согласования не выполняются. Характерная длина фазовой расстройки  имеет порядок от 1 до 100 мкм. Фактически, это есть длина пути, на котором генерация третьей гармоники достигает своего максимума. Дальнейшее увеличение пути приводит к осцилляциям интенсивности, но она уже не может превысить величину, полученную на расстоянии .

В заключение отметим, что не будем останавливаться на деталях оценки вероятности перехода . Все вычисления выполняются аналогично изложенному в п. 5.1 и 5.2. Отметим лишь, что взаимодействия с участием четырех фотонов могут носить различный характер. На рис. 4 даны схемы двух из них — трехфотонное преобразование а и комбинационный резонанс 6:

в случае ,

в случае ,

во всех случаях .

Аналогично ранее проведенному анализу коэффициенты усиления света на частоте оказываются пропорциональными интенсивности всех пучков , т.е. нелинейность очень сильна. Если падающие пучки одномодовые, то и создаваемое излучение с частотой  — одномодовое и распространяется в направлении .