Некоторые приложения двойных и тройных интегралов

56. .57. .

58. .59. .

60.  , где  .

61.  ,  где .

62. ,  где область V ограничена поверхностью .

14.4.     Некоторые приложения двойных и тройных интегралов

1. Площадь фигуры. а) Для плоской фигуры  

                                                       .                                            (4.1)

б) Площадь части искривленной поверхности рассматривается в разделе 14.6. этой главы.

2. Объем тела V:  (- проекция V на плоскость Oxy):

                                                                                (4.2)

или                                               .                                       (4.3)

3. Масса.  а) Если  - поверхностная плотность массы плоской фигуры ,  то 

                                                         .                                              (4.4)

б) если - объемная плотность массы тела , то

                                                         .                                        (4.5)

Для однородных фигур и тел плотность  примем равной единице.

4. Статические моменты и координаты центра тяжести. а) Для плоской фигуры  c плотностью  и массой m статические моменты относительно координатных осей:

                                         ,               ;

координаты центра тяжести:

                                          ,                .

б) Для тела V с плотностью  и массой m статические моменты относительно координатных плоскостей

                      ,         ,         ;

координаты центра тяжести:

                                      ,  , .

Пример14. Найти массу пластинки    с поверхностной плотностью .

Ñ По формуле (4.4)  . Область D и подынтегральная функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 в пункте 14.2.4 при ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому  и при  . #

Пример 15. Найти массу тела. , если объемная плотность .

Ñ По формуле (4.5) . Тройной интеграл I по данной области V вычислен в примере 12 из пункта 14.3.3, , и потому .#

Пример 16. Найти объем тела  ; , .

Ñ Из формулы (4.3)  . Тело V ограничено сферами, полуконусами и плоскостями (рис.14.21).

a)

Рис.14.21

Рис.14.21 в)

 Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесообразность перехода к сферическим координатам  по формулам: , , . Поверхности, ограничивающие V, преобразуются:1);
2) ;

3)  или ;

4) ;

5) ;    6) .

Область изменения сферических координат точек области V есть

.

Тогда в силу формулы (3.7) =

=

. #

Задачи для самостоятельного решения

          Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

63. .   64. .

65. .

66. . 67.

68. - гиперболический параболоид, .

69. .   70. .

71. .   72.       .

73. Найти массу квадратной пластинки со стороной a , если плотность пластинки в каждой  точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин и равен  в центре   квадрата.

          Найти координаты центра тяжести однородных пластинок, ограниченных кривыми:

74. .      75. .

76. .   77.   - кардиоида, .

Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями:

78.   (усеченный параллелепипед).

79. .

80. .

14.5.    Криволинейные интегралы.

14.5.1. Криволинейные интегралы первого рода (КИ-1)

          Пусть: 1) в точках простой (без точек самопересечения), спрямляемой (т.е. имеющей длину) кривой l из пространства  определена ограниченная скалярная функция  2) - произвольное разбиение кривой l на элементарные дуги  с длинами ; 3) - произвольный набор точек; 4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению кривой l и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы  при  , не зависящий ни от способа разбиения кривой l, ни от выбора точек , называется криволинейным интегралом первого рода от функции   по кривой l:  .

Вычисление КИ-1. Теорема 14.6. Если кривая l задана параметрическими уравнениями: , где  - непрерывно дифференцируемые по t функции и возрастание длины L дуги кривой соответствует возрастанию t, то в предположении существования определенного интеграла имеет место равенство

                          .                    (5.1)